Question

如圖，在平面直角坐標系xoy內，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場；第Ⅰ、Ⅳ象限某一區域內存在垂直于坐標平面向外的圓形勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計粒子重力），從M（0，

3

h）點，以速度v₀垂直于y軸射入電場，剛好經P（2h，0）點進入該圓形勻強磁場區域，最后以垂直于y軸的方向射出該磁場．求：
（1）電場強度大小E；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r；
（3）滿足題設條件的圓形磁場區域的最小面積．

Answer 1

分析：（1）粒子先垂直進入電場做類平拋運動，運用運動的分解法，由牛頓第二定律和運動學公式結合求解場強E的大�。�
（2）根據動能定理可求出粒子進入進入磁場時的速度v．進入磁場后，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求解軌道半徑r．
（3）粒子從P（2h，0）點進入該圓形勻強磁場區域，最后以垂直于y軸的方向射出該磁場，由幾何知識得到速度v與x軸的夾角．最小的磁場區域是以入射點和出射點為直徑的圓．根據幾何關系求解．

解答：解：粒子的運動軌跡如右圖所示
（1）設粒子在電場中運動的時間為t₁
x方向有   2h=v₀t₁
y方向有   

3

h=

1

2

a

t

2 1

根據牛頓第二定律有Eq=ma
解得：E=

3 m v 2 0

2qh

（2）設粒子進入磁場時速度為v，根據動能定理
 Eq

3

h=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 0

根據牛頓第二定律
  Bqv=

mv2

r

解得：r=

2mv0

Bq

（3）設速度v與x軸的夾角為θ，
則 cosθ=

v0

v

=

1

2

，即θ=60°
由幾何關系得最小圓的半徑
 R=rsin60°=

3

2

r
最小圓的面積 s=πR²
最小圓的面積 s=

3πm2 v 2 0

B2q2

答：
（1）電場強度大小E為

3 m v 2 0

2qh

；
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑r為

2mv0

Bq

；
（3）滿足題設條件的圓形磁場區域的最小面積為

3πm2 v 2 0

B2q2

．

點評：本題考查了帶電粒子在勻強電場中的類平拋運動，在磁場中的勻速圓周運動，對數學的幾何能力要求較高，關鍵畫出粒子的軌跡圖，結合牛頓第二定律以及向心力等知識進行求解．