Question

如圖所示，兩足夠長的平行光滑的金屬導軌MN、PQ相距為L=1m，導軌平面與水平面夾角α=30°，導軌電阻不計．磁感應強度為B₁=2T的勻強磁場垂直導軌平面向上，長為L=1m的金屬棒ab垂直于MN、PQ放置在導軌上，且始終與導軌接觸良好，金屬棒的質量為m₁=2kg、電阻為R₁=1Ω．兩金屬導軌的上端連接右側電路，電路中通過導線接一對水平放置的平行金屬板，兩板間的距離和板長均為d=0.5m，定值電阻為R₂=3Ω，現閉合開關S并將金屬棒由靜止釋放，重力加速度為g=10m/s²，導軌電阻忽略不計．試求：
（1）金屬棒下滑的最大速度為多大？
（2）當金屬棒下滑達到穩定狀態時，在水平放置的平行金屬板間電場強度是多大？
（3）當金屬棒下滑達到穩定狀態時，在水平放置的平行金屬板間加一垂直于紙面向里的勻強磁場B₂=3T，在下板的右端且非常靠近下板的位置有一質量為m₂，帶電量為q=-1×10^-4C的質點以初速度v水平向左射入兩板間，要使帶電質點在復合場中恰好做勻速圓周運動并能從金屬板間射出，初速度v應滿足什么條件？

Answer 1

（1）當金屬棒ab勻速下滑時有m₁gsinα=B₁IL…①
I=

E

R總

…②
E=B₁Lv   …③
  R_總=R₁+R₂…④
聯立①～④式的vm=

m1gsinα(R1+R2)

B12L2

 ⑤
得v_m=10m/s
（2）由分壓原理得

B1Lvm

(R1+R2)

=

Uc

R2

…⑥
將已知條件代入得U_C=15V
故 E=

Uc

d

=30V/m  方向由上極板指向下極板              
（3）要滿足題意使帶電粒子做勻速圓周運動 則

Ucq

d

=m2g
由上式可求得  m₂=3×10^-4㎏…⑦
 根據B2qv=

m2v2

r

故r=

m2v

B2q

…⑧
由題意分析可知，粒子的圓心在磁場的邊界上，若能轉回到邊界處一定從右邊飛出，而若半徑增大，打在極板上則不會飛出；
但若半徑增大到粒子從上板的左側飛出時，也可飛出，
故要使帶電粒子能從金屬極板右邊射出，必滿足r≤

d

2

…⑨
若從左邊飛出，則r≥d…⑩
聯立⑦⑧⑨式得v≤0.25m/s（從右邊射出）                
聯立⑦⑧⑩式得v≥0.5m/s（從左邊射出）  
 答：（1）最大速度為10m/s；（2）板間的場強為30V/m； （3）若從右端射出，速度≤0.25m/s，若從左端射出，速度≥0.5m/s．