Question

如圖所示，豎直平面內有一半徑為r、內阻為R₁、粗細均勻的光滑半圓形金屬環，在M、N處與相距為2r、電阻不計的平行光滑金屬軌道ME、NF相接，EF之間接有電阻R₂，已知R₁=12R，R₂=4R．在MN上方及CD下方有水平方向的勻強磁場I和II，磁感應強度大小均為B．現有質量為m、電阻不計的導體棒ab，從半圓環的最高點A處由靜止下落，在下落過程中導體棒始終保持水平，與半圓形金屬環及軌道接觸良好，兩平行軌道中夠長．已知導體棒ab下落r/2時的速度大小為v₁，下落到MN處的速度大小為v₂．
（1）求導體棒ab從A下落r/2時的加速度大�。�
（2）若導體棒ab進入磁場II后棒中電流大小始終不變，求磁場I和II之間的距離h和R₂上的電功率P₂．
（3）當導體棒進入磁場II時，施加一豎直向上的恒定外力F=mg的作用，求導體棒ab從開始進入磁場II到停止運動所通過的距離和電阻R₂上所產生的熱量．

Answer 1

分析：導體棒在重力作用下切割磁感線，從而產生感應電動勢，閉合電路出現感應電流，導致棒受到安培力．由速度可求出此時的安培力大小，再由牛頓第二定律可算出加速度．當電流大小不變時，則此時棒做勻速直線運動，所以由受力平衡可算出棒的速度，再根據運動學公式可求出距離h．而R₂上的電功率與R₁上的電功率之和正好等于棒下落過程中的重力功率．

解答：解：（1）以導體棒為研究對象，棒在磁場I中切割磁感線，棒中產生產生感應電動勢，導體棒ab從A下落

r

2

時，導體棒在重力與安培力作用下做加速運動，由牛頓第二定律，得
mg-BIL=ma，式中l=

3

r
I1=

Blv1

R并1

R并1=

8R×(4R+4R)

8R+4R+4R

=4R
由以上各式可得到：a=g-

3B2r2v1

4mR

（2）當導體棒ab通過磁場II時，若安培力恰好等于重力，棒中電流大小始終不變，即mg=BI×2r
 I2=

2Brv3

R并2

，
公式中：R并2=

12R×4R

12R+3R

=3R
解得：v3=

mgR并2

4B2r2

=

3mgR

4B2r2

導體棒從MN到CD做加速度為g的勻加速直線運動，有

v

2 3

-

v

2 2

=2gh
得：h=

9m2gR2

32B4r4

-

v 2 2

2g

此時導體棒重力的功率為
 PG=mgvt=

3m2g2R

4B2r2

根據能量守恒定律，此時導體棒重力的功率全部轉化為電路中的電功率，即
 P_電=P₁+P₂=P_G
 所以P2=

3

4

PG=

9m2g2R

16B2r2

（3）由動量定理得：-B

.

I

×2r×t=0-mv3
即：-B

B×2r× . v

R并2

×2r×t=-mv3
即：-

4B2r2

R并2

x=-mv3
聯立，解得：x=

9m2gR2

16B4r4

停下來的過程中，重力做正功，外力和安培力做負功，由動能定理得：
mgx-Fx-W外=0-

1

2

m

v

2 3

所以產生的總熱量為：Q=W外=

1

2

m

v

2 3

在電阻上產生的熱量為：Q2=

3

4

Q=

27m3g2R2

128B4r4

答：（1）導體棒ab從A下落r/2時的加速度a=g-

3B2r2v1

4mR

；（2 ）h=

9m2gR2

32B4r4

-

v 2 2

2g

，P2=

9m2g2R

16B2r2

；（3）停止運動所通過的距離 x=

9m2gR2

16B4r4

，在電阻上產生的熱量為  Q2=

27m3g2R2

128B4r4

．

點評：導體棒在磁場中切割磁感線產生電動勢，電路中出現電流，從而有安培力．由于安培力是與速度有關系的力，因此會導致加速度在改變．所以當安培力不變時，則一定處于平衡狀態．