Question

如圖所示，在xoy平面內存在B=2T的勻強磁場，OA與OCA為置于豎直平面內的光滑金屬導軌，其中OCA滿足曲線方程x=0.5sin

π

5

y，C為導軌的最右端，導軌OA與OCA相交處的O點和A點分別接有體積可忽略的定值電阻R₁=6Ω和R₂=12Ω．現有一長L=1m、質量m=0.1kg的金屬棒在豎直向上的外力F作用下，以v=2m/s的速度向上勻速運動，設棒與兩導軌接觸良好，除電阻R₁、R₂外其余電阻不計，重力加速度為g，求：
（1）金屬棒在導軌上運動時R₂上消耗的最大功率；
（2）外力F的最大值．

Answer 1

分析：（1）金屬棒沿導軌豎直向上運動，進入磁場中切割磁感線產生感應電動勢．當金屬棒勻速運動到C點時，電路中感應電動勢最大，產生的感應電流最大，根據感應電動勢公式E_m=Bl_mv求出感應電動勢，由公式P=

E 2 m

R2

求解R₂上消耗的最大功率；
（2）金屬棒相當于電源，外電路中R₁、R₂并聯，先求出并聯阻值．再根據閉合電路歐姆定律求出感應電流的最大值I，最大安培力為 F_安=BIx_m．即可求解．

解答：解：（1）金屬棒向上勻速運動的過程中切割磁感線，產生電動勢，接入電路的有效長度即為OCA導軌形狀所滿足的曲線方程，因此接入電路的金屬棒長度為：
l=x=0.5sin

π

5

y
所以當棒運動到C點時，感應電動勢最大，即：
E_m=Bl_mv=Bx_mv=2×0.5×2V=2V
電阻R₁、R₂并聯，此時R₂上消耗的功率最大，最大值為：
P₂=

E 2 m

R2

=

22

12

W=

1

3

W≈0.33W
（2）金屬棒相當于電源，外電路中R₁、R₂并聯，其并聯阻值為：
R=

R1R2

R1+R2

=

6×12

6+12

Ω=4Ω
通過金屬棒的最大電流為：
I=

Em

R

=

2

4

A=0.5A
所以最大安培力為：
F_安=BIx_m=2×0.5×0.5A=0.5N
因為金屬棒受力平衡，所以外力的最大值為：
F=F_安+mg=0.5N+1N=1.5N
答：（1）金屬棒在導軌上運動時R₂上消耗的最大功率約為0.33W；
（2）外力F的最大值為1.5N．

點評：本題金屬棒產生的是正弦式交變電流，解得本題關鍵要能分析出什么時候感應電動勢最大，知道哪部分是電源，哪部分是外電路，知道電路的連接關系．難度中等．