Question

【題目】如圖所示，電阻不計的光滑金屬導軌ABC、DEF平行放置，間距為L，BC、EF水平，AB、DE與水平面成θ角．PQ、P′Q′是質量均為m、電阻均為R的金屬桿，它們與導軌垂直．平行板電容器的兩極板（相距為d）M、N水平放置，并通過導線與導軌連接．FC的左側整個區域處于磁感應強度大小為B1、方向豎直向下的勻強磁場中．電容器兩極板間圓形區域內存在垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B2 ， 圓形磁場區域半徑r1=0.5d，與電容器兩板及左側邊緣線相切．讓桿PQ沿水平導軌運動，使桿P′Q′靜止不動，試求：

（1）PQ運動速度的大小和方向．
（2）若一個不計重力的帶正電粒子沿兩板間中心線O1O2從左側邊緣．O1點以速度v0射入，恰沿直線通過圓形磁場區域，經過時間t0從極板邊緣飛出；撤去磁場，讓該粒子仍從O1點以相同速度射入，則經t0/2時間打到極板上，求v0的大小為多少？
（3）若兩極板不帶電，保持圓形區域磁場不變，滿足（2）問比荷的該粒子仍沿中心線O1O2從O1點射入，欲使粒子從兩板間飛出，求射入的速度大小應滿足的條件[已知tan2θ= ]．

Answer 1

【答案】
（1）

解：PQ切割磁感線產生的感應電動勢：E=B1Lv，

電路電流：I= = ，

P′Q′桿受到的安培力：F=B1IL= ，

P′Q′桿靜止處于平衡狀態，由平衡條件得：mgtanθ=F，

解得：v= ，

由右手定則與左手定則可知，PQ應向右運動

（2）

解：設極板長為x，撤去磁場后粒子做類平拋運動，水平方向位移：x﹣2r1=x﹣d，

有磁場時：x=v0t0，無磁場時：x﹣d= ，

解得：x=2d，v0=

（3）

解：撤去磁場時粒子做類平拋運動，粒子的偏移量：0.5d= ，

粒子在磁場中做勻速直線運動，由平衡條件得：qv0B2=q ，

解得： = ，

無電場時粒子在磁場中做勻速圓周運動，粒子恰好從上極板左邊緣時的軌道半徑為r，圓心角為α，

由幾何知識得：tanα= ，α=45°，r+ r=0.5d，

洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：qvB2=m ，

解得：v= ；

粒子恰好從上極板右邊緣飛出時，由幾何知識得：

tan2θ= ，tanθ= ，已知：tan2θ= ，

解得：v= ，

粒子的速度需要滿足的條件是：0＜v＜ ，v＞

【解析】（1）應用E=BLv求出感應電動勢，應用歐姆定律求出電流，應用安培力公式求出桿受到的安培力，然后應用平衡條件求出桿的速度大小，應用左手定則與右手定則判斷桿的運動方向．（2）撤去磁場時粒子做類平拋運動，有磁場時粒子做勻速直線運動，應用類平拋運動規律與平衡條件可以求出粒子的速度．（3）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，求出粒子的臨界速度，然后確定其速度范圍．
【考點精析】關于本題考查的洛倫茲力，需要了解洛倫茲力始終垂直于v的方向，所以洛倫茲力一定不做功才能得出正確答案．