Question

如圖所示，質量分別為m和M的滑塊A和B靜止于光滑的水平臺面上，A和B之間夾有一輕質彈簧（A、B與彈簧不連接），彈簧處于被壓縮狀態，有一輕質繩連接著A和B。水平臺面左端連接著一半徑為R=0.2m的光滑圓軌道PQ，右端為一傾角為37°的足夠長的斜面CD，滑塊B與斜面CD間的動摩擦因數為。燒斷兩滑塊間的輕質繩后，由于彈簧彈力的作用，滑塊A將沿圓軌道做圓周運動，且在最高點P軌道對滑塊的壓力恰好等于滑塊的重力。已知兩滑塊的質量之比為，重力加速度g=10m/s².求：

（1）燒斷細繩，彈簧恢復原長時兩滑塊的速度大小；

（2）滑塊B將沿斜面上滑，且從斜面底端C開始經過t=0.5s，恰好經過D點，求CD的長度。

Answer 1

（1），（2）

解析:

（1）設彈簧恢復原長時A、B兩滑塊的速率分別為和，滑塊A到達圓軌道最高點時的速率為

滑塊A在最高點，軌道對其的壓力恰好與其重力相等

                       ①     （2分）

滑塊A在光滑圓軌道上運動過程中機械能守恒，所以有

          ②    （2分）

燒斷細繩后，A、B兩滑塊在彈簧彈力作用下運動過程中動量守恒，且二者運動速度方向相反，所以有：

                   ③    （2分）

由題給條件有：

                    ④   （1分）

聯立以上各式求解得：，    （3分）

（2）滑塊B在C點時的速度：

滑塊沿CD段向上運動時做勻減速度直線運動至靜止，設其加速度大小為，發生的位移大小為，所用時間為，則有

        ⑤           （1分）

                             ⑥           （1分）

                               ⑦            （1分）

聯立以上三式求解得：，，   （1分）

返回時做初速度為零的勻加速直線運動，設其加速度大小為，運動時間為，位移為，則有

                ⑧               （1分）

                              ⑨                （1分）

                             ⑩                （1分）

聯立以上三式代數求解得：                       （1分）

所有CD的長度為：                      （1分）

說明：用其它方法計算，只要正確，同樣給分