Question

（25分）一個用絕緣材料制成的扁平薄圓環，其內、外半徑分別為a₁、a₂，厚度可以忽略．兩個表面都帶有電荷，電荷面密度隨離開環心距離r變化的規律均為，為已知常量．薄圓環繞通過環心垂直環面的軸以大小不變的角加速度減速轉動，t = 0時刻的角速度為．將一半徑為a₀ (a₀<<a₁)、電阻為R并與薄圓環共面的導線圓環與薄圓環同心放置．

試求在薄圓環減速運動過程中導線圓環中的張力F與時間t的關系．

提示：半徑為r、通有電流I的圓線圈（環形電流），在圓心處產生的磁感應強度為（k為已知常量）

Answer 1

用半徑分別為r₁（>a₁），r₂，…，r_i，…，r_n–1（<a₂）的n-1個同心圓把塑料薄圓環分割成n個細圓環．第i個細圓環的寬度為，其環帶面積

式中已略去高階小量．，該細圓環帶上、下表面所帶電荷量之和為

設時刻t，細圓環轉動的角速度為ω ，

單位時間內，通過它的“橫截面”的電荷量，即為電流

               

由環形電流產生磁場的規律，該細圓環的電流在環心產生的磁感應強度為

                              (1)

式中是一個微小量，注意到，有                

                         (2)

將各細圓環產生的磁場疊加，由（1）、（2）式得出環心O點處的磁感應強度：

         (3)        

由于a₀<<a₁，可以認為在導線圓環所在小區域的磁場是勻強磁場，可由O點的場表示．磁場對導線環的磁通量

       (4)

由于是變化的，所以上述磁通量是隨時間變化的，產生的感應電動勢的大小為

   (5)

由全電路歐姆定律可知，導線環內感應電流的大小為

                            (6)

設題圖中薄圓環帶正電作逆時針旋轉，穿過導線圓環的磁場方向垂直紙面向外，由于薄圓環環作減角速轉動，穿過導線圓環的磁場逐漸減小，根據楞次定律，導線圓環中的感應電流亦為逆時針方向，導線圓環各元段Δl所受的安培力都沿環半徑向外．現取對于y軸兩對稱點U、V，對應的二段電流元所受的安培力的大小為

                             (7)

方向如圖所示，它沿x及y方向分量分別

                    (8)

                    (9)

根據對稱性，作用于沿半個導線圓環QMN上的各電流元的安培力的x分量之和相互抵消，即

                   (10)

（式中，當時，是正的，當時，是負的，故），

而作用于沿半個導線圓環QMN上的各電流元的安培力的y分量之和為

                 (11) 

（式中，由于θ 在0~π之間都是正的，故），

即半個導線圓環上受的總安培力的大小為，方向沿y正方向，由于半個圓環處于平衡狀態，所以在導線截面Q、N處所受（來自另外半個圓環）的拉力（即張力）F應滿足．由（3）、（6）兩式得 

    (12)

由（12）式可見，張力F隨時間t線性減�。�