Question

某電視臺在游樂園舉行家庭搬運磚塊比賽活動，比賽規則是向沿水平面做直線運動的小車上搬放磚塊，每次只能將一塊磚無初速（相對于地面）地放到車上，車停止時立即停止搬運，以車上磚塊多少決定勝負．已知小車的上表面光滑且足夠長，且小車與地面的動摩擦因數不變，比賽過程中車始終受到水平恒定的牽引力F=20N的作用，未放磚塊時車以v₀=3.0m/s勻速前進．某家庭上場比賽時每隔T=0.8s搬放一塊磚；已知每塊磚的質量m=0.8kg，從放上第一塊磚開始計時，圖2中僅畫出了0～0.8s內車運動的v-t圖象，整個過程中磚始終在車上未滑下，取g=10m/s²，求：
（1）小車的質量及車與地面的動摩擦因數；
（2）當小車停止時，車上有多少塊磚？

Answer 1

解：（1）小車的上表面光滑，磚塊相對地面始終保持靜止狀態，放上磚塊后小車開始做勻減速運動，設小車與地面間的動摩擦因數為μ，則μMg=F
放上第一塊磚后，對小車
F-μ（m+M）g=Ma₁
即-μmg=Ma₁
由v-t圖象可知，△v₁=v₁-v₀=2.8-3.0（m/s）=-0.2m/s，放第一塊磚后小車的加速度為
解得，μ=0.25，M=8kg
（2）同理，放第二塊磚后，對小車有
-2μmg=Ma₂，
0.8s內速度改變：△v₂=a₂T=-0.4m/s
放第三塊磚后小車的加速度為a₃=-3×0.25m/s²=-0.75m/s²
0.8s內速度改變：△v₃=-3×0.2m/s=-0.6m/s
則放第n塊磚后小車的加速度：（n=1，2，3…）
0.8s內速度改變：△v_n=-n×0.2m/s（n=1，2，3…）
所以△v=△v₁+△v₂+△v₃+…+△v_n=-（1+2+3…+n）×0.2m/s
而△v=0-3m/s=-3m/s
聯立解得，n=5
即當小車停止時，車上有5塊磚．
答：
（1）小車的質量為8kg，車與地面的動摩擦因數為0.25；
（2）當小車停止時，車上有5塊磚．
分析：（1）據題，小車的上表面光滑，磚塊放到小車上后水平不受外力，相對地面始終保持靜止狀態．小車原來勻速前進，放上磚塊后小車開始做勻減速運動，根據牛頓第二定律得出小車的加速度與動摩擦因數的關系，由v-t圖象斜率大小求出加速度，聯立求解小車的質量及車與地面的動摩擦因數．
（2）根據牛頓第二定律分別求出放上第二塊磚、第三塊磚、…小車的加速度，由速度公式求出每一個0.8s內小車速度的改變量，總結規律，得出放上第n塊磚后0.8s內小車的速度改變量，得出小車速度減至零時改變量的表達式，求出當小車停止時，車上有多少塊磚．
點評：本題分析受力情況和運動情況是基礎，難點是運用數學歸納法總結規律，得出小車速度改變量的通項．