Question

如圖所示，光滑的U型金屬導軌PQMN水平地固定在豎直向上的勻強磁場中．磁感應強度為B，導軌的寬度為L，其長度足夠長，QM之間接有一個阻值為R的電阻，其余部分電阻不計．一質量為m，電阻也為R的金屬棒ab，恰能放在導軌之上并與導軌接觸良好．當給棒施加一個水平向右的沖量，棒就沿軌道以初速度v開始向右滑行．求：
（1）開始運動時，棒中的瞬間電流i和棒兩端的瞬間電壓u分別為多大？
（2）當棒的速度由v減小到v的過程中，棒中產生的焦耳熱Q是多少？棒向右滑行的位移x有多大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據切割磁感線產生的電動勢，與閉合電路歐姆定律，即可求解；
（2）根據能量守恒定律，可求整個電路的焦耳熱，再求出棒中電阻產生焦耳熱．通過取極短時間，運用牛頓第二定律與閉合電路歐姆定律，結合極限思想，從而即可求解．
解答：解：（1）開始運動時，棒中的感應電動勢：
e=LvB
棒中的瞬時電流：i==
棒兩端的瞬時電壓：u=e=LvB
（2）由能量轉化與守恒定律知，全電路在此過程中產生的焦耳熱：
Q_總=mv²-m（v）²=mv² 
∴棒中產生的焦耳熱為：Q=Q_總=mv² 
令：△t表示棒在減速滑行時某個無限短的時間間隔，則在這一瞬時，結合安培力
和瞬時加速度的極限思想，應用牛二律有：
iLB=m
結合電磁感應定律和瞬時速度的極限思想，應用全電路歐姆定律有：
i?2R=LBv=LB 
所以：mLB△v=LB?2R△x，即：△x∝△v
所以對于全過程，上述正比例關系仍成立
所以對于全過程（△v=v），得：
△x=x=
答：（1）開始運動時，棒中的瞬間電流i=和棒兩端的瞬間電壓u=LvB；
（2）當棒的速度由v減小到v的過程中，棒中產生的焦耳熱Q=mv²；棒向右滑行的位移x=．
點評：考查法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律的應用，掌握能量守恒定律，注意棒的焦耳與整個電路的焦耳熱的關系，同時突出極限思想．
當然還可以借用下面的“微分”思路求解第二小問：令△t表示棒在減速滑行的某個無限短的時間間隔，則△t內，
應用動量定理有：iLB△t=m△v 
應用全電路歐姆定律有：i=BLv?2R
又因為：v△t=△x
所以：△x=m△v
即：△x∝△v
所以 對于全過程，上述正比例關系仍成立
所以 對于全過程（△v=v），得：
△x=x=