Question

【題目】如圖所示，把一個有孔的小球A裝在輕質彈簧的一端，彈簧的另一端固定，小球穿在沿水平x軸的光滑桿上，能夠在桿上自由滑動。把小球沿x軸拉開一段距離，小球將做振幅為R的振動，O為振動的平衡位置。另一小球B在豎直平面內以O′為圓心，在電動機的帶動下，沿順時針方向做半為徑R的勻速圓周運動。O與O′在同一豎直線上。用豎直向下的平行光照射小球B，適當調整B的轉速，可以觀察到，小球B在x方向上的“影子”和小球A在任何瞬間都重合。已知彈簧勁度系數為k，小球A的質量為m，彈簧的彈性勢能表達式為，其中k是彈簧的勁度系數，x是彈簧的形變量。

a．請結合以上實驗證明：小球A振動的周期。

b．簡諧運動的一種定義是：如果質點的位移x與時間t的關系遵從正弦函數的規律，即它的振動圖像（x-t圖像）是一條正弦曲線，這樣的振動叫做簡諧運動。請根據這個定義并結合以上實驗證明：小球A在彈簧作用下的振動是簡諧運動，并寫出用已知量表示的位移x與時間t關系的表達式。

Answer 1

【答案】a. b. ，其中R、k、m為常量

【解析】a. 以小球A為研究對象，設它經過平衡位置O時的速度為v，當它從O運動到最大位移處，根據機械能守恒有，由此得 ①。

由題中實驗可知，小球B在x方向上的“影子”的速度時刻與小球A的相等，A經過O點的速度v與B經過最低點的速度相等，即小球B做勻速圓周運動的線速度也為v。小球A振動的周期與小球B做圓周運動的周期相等。

根據圓周運動周期公式，小球B的運動周期 ②

聯立①②兩式得小球B的運動周期

所以小球A的振動周期也為

b. 設小球B做圓周運動的角速度為ω。設小球A從O向右運動、小球B從最高點向右運動開始計時，經過時間t，小球B與O 的連線與豎直方向成φ角，小球B在x方向上的位移

x = Rsinφ = Rsinωt

根據，

聯立以上各式得

由題中實驗可知B在x方向上的“影子”和A在任何瞬間都重合即小球A的位移規律也為，其中R、k、m為常量

所以小球A的運動是簡諧運動。