Question

如圖所示，箱子a連同固定在箱子底部的豎直桿b的總質量M=10kg．箱子內部高度H=3.6m，桿長h=2.0m，桿的頂端為Q點．另有一內孔略大于直桿截面的鐵環從箱子頂部P點以v₀=4m/s的初速度落下，正好套在桿上沿桿運動，鐵環第一次被箱子底部彈起后恰好能重新返回到P點，小鐵環的質量為m=2kg．（不計鐵環與箱底碰撞時的能量損失，g取10m/s²）
（1）求在沿桿運動的過程中，鐵環受到的摩擦力f大小是多少？
（2）設鐵環在t₀=0時刻釋放，t₁時刻第一次到達Q點，t₂時刻第一次到達桿底部，t₃時刻第二次到達Q點，t₄時刻恰好回到P點．請在圖（b）給定的坐標中，畫出0～t₄時間內箱子對地面壓力的變化圖象；
（3）求從開始下落到最終停止在箱底，鐵環運動的總路程s是多少？

Answer 1

分析：（1）從P運動到再返回P點，此過程重力做功為零，只有摩擦力做功，可由動能定理得到摩擦力f
（2）求出摩擦力后，由t₀=0時刻釋放，t₁時刻第一次到達Q點，t₂時刻第一次到達桿底部，t₃時刻第二次到達Q點，t₄時刻恰好回到P點，可知在此四個時間段內的摩擦力，情況從而得出對應時間段內的支持力．
（3）鐵環下落下在反彈，然后再落下就是第三次到Q點，由動能定理判斷其能不能再次反彈回到Q點，若可以，則可由動能定理求得第四次到達Q點的動能，然后求得上升的距離，然后再依據鐵環第四次到達Q點的動能判定其能不能第五次到Q點，若還可以，則繼續依照此思路判定，知道判定出來不能再次反彈回到Q點為止，則由動能定理可以求得此過程中摩擦做功的路程，再加上幾次（次數是由前面的判定得出的）通過PQ段的高度和，兩者相加為環經過的總路程．

解答：解：（1）從P運動到再返回P點，此過程重力做功為零，由動能定理：-2fh=0-

1

2

mv₀²
解得：f=4N
（2）由題知鐵環在t₀=0時刻釋放，t₁時刻第一次到達Q點，t₂時刻第一次到達桿底部，t₃時刻第二次到達Q點，t₄時刻恰好回到P點．故
0～t₁時間內，桿對地的壓力等于重力，故箱子對地的壓力為：100N
t₁～t₂時間內，桿還受環的摩擦力向下，故箱子對地的壓力為：100N+4N=104N
t₂～t₃時間內，桿受環的摩擦力向上，故箱子對地的壓力為：100N-4N=96N
t₃～t₄時間內，桿對地的壓力等于重力，故箱子對地的壓力為：100N
則箱子對地面壓力的變化圖象如圖（見右圖）
（3）鐵環第三次到達Q點時（向下 運動）的動能為：E_k1=mg（H-h）=32J＞2fh
鐵環第四次到達Q點時（向上運動）的動能為：E_k2=E_k1-2fh=16J，
設小環在空中再次上升的距離為h′，則有：
-mgh′=0-E_k2，可解得h′=0.8m
鐵環第四次到達Q點時（向下運動）的動能為：E_k3=E_k2=16J≤2 fh
之后鐵環將始終沿直桿運動直至停止，設之后鐵環沿直桿運動的距離為x，則有：
mgh-fx=0-E_k3
解得：x=14m
故鐵環的總路程為：s=3H+h+2 h′+x=28.4m
答：（1）求在沿桿運動的過程中，鐵環受到的摩擦力f大小是4N
（2）如圖
（3）求從開始下落到最終停止在箱底，鐵環運動的總路程s是28.4m

點評：本題比較復雜的部分是在第三問，這里需要多次判定，知道判定出來鐵環不能再次回到Q，利用這個次數，來求得通過Q點以上的路程，和在摩擦力作用下通過的路程（此段應用的是摩擦力做功等于力乘以路程，這是摩擦力做功的特征），相加才能得到總路程．易錯點也是這一問．