Question

圖是一種碰撞裝置的俯視圖，其左邊Q是一個接收器，它的下端裝有光滑軌道（圖中未畫出），左端與固定在墻壁上的輕質彈簧相連；右邊P是一固定的發射器，它可根據需要瞄準接收器的接收口，將質量m=0.10kg的珠子以v₁=50m/s的速度沿水平方向射入接收器．已知接收器的質量M=0.40kg，彈簧處于自然長度時，接收器右邊緣與直線MN對齊．若接收器右邊緣停止在MN線上或向右運動到達MN線時，都有一粒珠子打入接收器，并在極短時間內與接收器具有相同的速度．
（1）求第一粒珠子打入接收器之后，彈簧被壓縮至最短的過程中（在彈簧的彈性限度內），當彈簧的彈性勢能達到其能達到最大值的一半時接收器的速度大�。�
（2）試分析當第n粒珠子射入接收器中剛與接收器相對靜止時，接收器速度的大小；
（3）已知與接收器相連接彈簧的勁度系數k=400N/m，發射器左端與MN線的水平距離s=0.25m，求發射器至少應發射幾粒珠子后停止發射，方能使接收器沿直線往復運動而不會碰到發射器．（注：輕質彈簧的彈性勢能可按進行計算，其中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量．）

Answer 1

解：（1）設第一粒珠子打入接收器內剛與接收器相對靜止時，接收器速度的大小為v₁，
根據動量守恒定律 mv₀=（M+m）v₁①
彈簧的最大彈性勢能E_pm=（M+m） ②
設接收器運動中彈簧彈性勢能等于最大值一半時，接收器的速度為v_x ，
由機械能守恒定律 ③
聯立①②③，解得
（2）第1粒珠子打入接收器相對靜止時，接收器速度
設第2粒珠子打入接收器相對靜止時，接收器速度為v₂，
同理 mv₀-（M+m）v₁=（M+2m）v₂，解得 v₂=0
設第3粒珠子打入接收器相對靜止時，接收器速度為v₃，
同理 mv₀=（M+3m）v₃，解得
設第4粒珠子打入接收器相對靜止時，接收器速度為v₄，
同理 mv₀-（M+3m）v₃=（M+4m）v₄，解得v₄=0
可見，當第奇數個珠子打入接收器相對靜止時，接收器的速度
其中n=1，3，5
當第偶數個珠子打入接收器相對靜止時，接收器的速度 v_偶=0
（3）若接收器往復運動過程中不碰到發射器，則接收器最大位移x≤s
根據能量守恒定律
代入數據解得n≥6
要使接收器在停止射擊后能往復運動，則發射的珠子數n必為奇數，所以至少應發射7粒珠子后停止發射，使接收器沿直線往復運動而不碰到發射器．
分析：（1）第一粒珠子打入接收器內剛與接收器相對靜止過程系統動量守恒，根據動量守恒定律列式；此后接收器和彈簧機械能守恒，根據守恒定律列式求解即可；
（2）根據動量守恒定律分別求出第一輪珠子、第二粒珠子、…、第n粒珠子打入時的速度，得到規律；
（3）接收器和彈簧系統機械能守恒，根據機械能守恒定律列式；再根據最大位移x小于S；聯立求解即可．
點評：本題是多物體系統的動量和能量綜合的問題，關鍵先計算出接受一個球、二個球、三個球…的情況，然后總結規律，難題．