Question

（2010·天津·12）質譜分析技術已廣泛應用于各前沿科學領域。湯姆孫發現電子的質譜裝置示意如圖，M、N為兩塊水平放置的平行金屬極板，板長為L，板右端到屏的距離為D，且D遠大于L，O’O為垂直于屏的中心軸線，不計離子重力和離子在板間偏離O’O的距離。以屏中心O為原點建立xOy直角坐標系，其中x軸沿水平方向，y軸沿豎直方向。

（1）設一個質量為m0、電荷量為q0的正離子以速度v0沿O’O的方向從O’點射入，板間不加電場和磁場時，離子打在屏上O點。若在兩極板間加一沿+y方向場強為E的勻強電場，求離子射到屏上時偏離O點的距離y0;
(2)假設你利用該裝置探究未知離子，試依照以下實驗結果計算未知離子的質量數。
上述裝置中，保留原電場，再在板間加沿-y方向的勻強磁場�，F有電荷量相同的兩種正離子組成的離子流，仍從O’點沿O’O方向射入，屏上出現兩條亮線。在兩線上取y坐標相同的兩個光點，對應的x坐標分別為3.24mm和3.00mm，其中x坐標大的光點是碳12離子擊中屏產生的，另一光點是未知離子產生的。盡管入射離子速度不完全相同，但入射速度都很大，且在板間運動時O’O方向的分速度總是遠大于x方向和y方向的分速度。

Answer 1

（1）(2) 14

：（1）離子在電場中受到的電場力
                  ①
離子獲得的加速度
                   ②
離子在板間運動的時間
                    ③ 
到達極板右邊緣時，離子在方向的分速度
                   ④ 
離子從板右端到達屏上所需時間
                    ⑤
離子射到屏上時偏離點的距離

由上述各式，得
                   ⑥
（2）設離子電荷量為，質量為，入射時速度為，磁場的磁感應強度為，磁場對離子的洛倫茲力
                  ⑦
已知離子的入射速度都很大，因而離子在磁場中運動時間甚短，所經過的圓弧與圓周相比甚小，且在板間運動時，方向的分速度總是遠大于在方向和方向的分速度，洛倫茲力變化甚微，故可作恒力處理，洛倫茲力產生的加速度
                  ⑧
是離子在方向的加速度，離子在方向的運動可視為初速度為零的勻加速直線運動，到達極板右端時，離子在方向的分速度
                   ⑨
離子飛出極板到達屏時，在方向上偏離點的距離
               ⑩
當離子的初速度為任意值時，離子到達屏上時的位置在方向上偏離點的距離為，考慮到⑥式，得
                     ⑾
由⑩、⑾兩式得
                      ⑿
其中
上式表明，是與離子進入板間初速度無關的定值，對兩種離子均相同，由題設條件知，坐標3.24mm的光點對應的是碳12離子，其質量為，坐標3.00mm的光點對應的是未知離子，設其質量為，由⑿式代入數據可得
                      ⒀
故該未知離子的質量數為14。