Question

游樂場的過山車可以底朝上在圓軌道上運行，游客卻不會掉下來（如圖1），我們把這種情況抽象為如圖2的模型：圓弧軌道的下端與豎直圓軌道相接于M點，使小球從弧形軌道上距離M點豎直高度為h處滾下，小球進入圓軌道下端后沿圓軌道運動．實驗發現，只要h大于一定值，小球就可以順利通過圓軌道的最高點N，不考慮摩擦等阻力．

（1）若h=5R，求小球通過M點時的速度大小和通過N點時對軌道的壓力；
（2）若改變h的大小，小球通過最高點時的動能E_K也隨之發生變化，試通過計算在方格紙上作出E_K隨h的變化關系圖象（作在答題卡上）．

Answer 1

分析：（1）小球由高度為h=5R處下落至到達M點過程中，軌道的支持力不做功，只有重力做功，運用機械能守恒列式，即可求出小球通過M點時的速度大�。�由機械能守恒定律求出小球通過N點的速度大小，小球通過N點時由重力和軌道的支持力的合力充當向心力，根據牛頓第二定律列式求出支持力，再由牛頓第三定律得到小球對軌道的壓力．
（2）根據根據機械能守恒定律列式求解得到E_k與h的關系式，結合臨界條件并畫出圖象．

解答：解：（1）設小球在M點的速度為v₁，小球由高度為h處下落至到達M點過程中，機械能守恒，取地面為零勢能面，則：mgh=

1

2

mv12…①
將h=5R代入①得 v₁=

10gR

…②
設小球在通過圓軌道最高點時速度v₂，軌道對球的壓力為N₂，根據機械能守恒定律，得
  mgh=

1

2

mv22+2mgR…③
由牛頓第二定律得 mg+N2=m

v2

R

…④
將h=5R代入③、④聯立解得：N₂=5mg …⑤
（2）由③得：EK=

1

2

mv2=mgh-2mgR…⑥
由③、④得：N=

2mg

R

h-5mg…⑦
由于N≥0   由⑦得：h≥2.5R
當h=2.5R時，E_K=0.5mgR  圖中A（2.5，0.5）
當h=5R時，E_K=3mgR   圖中B（5，3）
連接AB作出E_K--h變化圖象如圖所示．
答：
（1）小球通過M點時的速度大小為

10gR

，通過N點時對軌道的壓力為5mg；
（2）作出E_K隨h的變化關系圖象如圖所示．

點評：本題關鍵是明確小球的運動規律，知道圓軌道最高點重力和支持力的合力提供向心力，同時要結合機械能守恒定律列式求解即可．