Question

(1)已知地球質量為M,引力常量為G,地球自轉周期為T.求同步衛星離地心的距離.
(2)已知地球半徑為R, 地球自轉周期為T,貼近地球運行的衛星的周期為T₀.求同步衛星離地心的距離.
(3)已知地球半徑為R,地面附近引力場強度約等于地面附近重力加速度g,地球自轉周期為T.求同步衛星離地心的距離.

Answer 1

r＝[GMT²/(4π²)]^1/3  r＝(T²/T₀²)^1/3R  r＝[gR²T²/(4π²)] ^1/3

試題分析：
(1)設同步衛星離地心的距離為r. 地球對同步衛星的萬有
引力F產生向心加速度a:
而                  F＝GMm/r²  a＝ω²r＝4π²r/T²
所以           GMm/r²＝4π²mr/T²
即               GMT²＝4π²r³
于是                r＝[GMT²/(4π²)]^1/3            （4分）
(2)同步衛星的運行周期等于地球的自轉周期T.設同步衛星離
地心的距離為r.由  GMm/r²＝4π²mr/T²
可以得到           GMT²＝4π2r³
類似地,貼近地球運行的衛星滿足 GMT₀²＝4π²R³
由以上兩式可得   T²/T₀²＝r³/R³ 于是 r＝(T²/T₀²)^1/3R  （4分）
(3)同步衛星的運行周期等于地球自轉的周期T.設同步衛星離
地球的距離為r.則 GMm/r²＝4π2mr/T² 即            r＝[GMT²/(4π²)]^1/3  
又            g＝F/m₁＝(GMm₁/R²)/m₁即            g＝GM/R²
即 GM＝gR²  可得r＝[gR²T²/(4π²)] ^1/3                （4分）
點評：萬有引力充當向心力，然后結合牛頓第二定律列式求解