Question

（2012?懷化三模）如圖（甲）所示，在直角坐標系0≤x≤L區域內有沿y軸正方向的勻強電場，右側有一個以點（3L，0）為圓心、半徑為L的圓形區域，圓形區域與x軸的交點分別為M、N．現有一質量為m，帶電量為e的電子，從y軸上的A點以速度v₀沿x軸正方向射入電場，飛出電場后從M點進入圓形區域，速度方向與x軸夾角為30°．此時在圓形區域加如圖（乙）所示周期性變化的磁場，以垂直于紙面向外為磁場正方向），最后電子運動一段時間后從N飛出，速度方向與進入磁場時的速度方向相同（與x軸夾角也為30°）．求：
（1）電子進入圓形磁場區域時的速度大�。�
（2）0≤x≤L區域內勻強電場場強E的大�。�
（3）寫出圓形磁場區域磁感應強度B₀的大小、磁場變化周期T各應滿足的表達式．

Answer 1

分析：電子在電場中只受電場力，做類平拋運動．將速度分解，可求出電子進入圓形磁場區域時的速度大小．根據牛頓定律求出場強E的大�。�電子在磁場中，洛倫茲力提供向心力，做勻速圓周運動．分析電子進入磁場的速度方向與進入磁場時的速度方向相同條件，根據圓的對稱性，由幾何知識得到半徑，周期T各應滿足的表達式．

解答：






解：
 （1）電子在電場中作類平拋運動，射出電場時，如圖1所示．
          由速度關系：

v0

v

=cos30°     解得  v=

2 3

3

v0 
 （2）由速度關系得vy=v0tan30°=

3

3

v0
      在豎直方向a=

eE

m

vy=at=

eE

m

?

L

v0

           解得  E=

3 m v 2 0

3eL

（3）在磁場變化的半個周期內粒子的偏轉角為60°，根據幾何知識，在磁場變化的半個周期內，
        粒子在x軸方向上的位移恰好等于R．粒子到達N點而且速度符合要求的空間條件是：2nR=2L
        電子在磁場作圓周運動的軌道半徑
             R=

mv

eB0

=

2 3 mv0

3eB0

   
            解得B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
    若粒子在磁場變化的半個周期恰好轉過

1

6

圓周，同時MN間運動時間是磁場變化周期的整數倍時，
        可使粒子到達N點并且 速度滿足題設要求．應滿足的時間條件：
             2n?

1

6

T0=nT       解得T0=

2πm

eB0

 
         T的表達式得：T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）
答：（1）電子進入圓形磁場區域時的速度大小為解得 v=

2 3

3

v0；
    （2）0≤x≤L區域內勻強電場場強E的大小E=

3 m v 2 0

3eL

；
    （3）圓形磁場區域磁感應強度B₀的大小表達式為B0=

2 3 nmv0

3eL

（n=1、2、3…） 
       磁場變化周期T各應滿足的表達式為T=

3 πL

3nv0

（n=1、2、3…）．

點評：本題帶電粒子在組合場中運動，分別采用不同的方法：電場中運用運動的合成和分解，磁場中圓周運動處理的基本方法是畫軌跡．所加磁場周期性變化時，要研究規律，得到通項．