Question

中國第三顆繞月探測衛星--“嫦娥三號”計劃于2013年發射，“嫦娥三號”衛星將實現軟著陸、無人探測及月夜生存三大創新．假設為了探測月球，載著登陸艙的探測飛船在以月球中心為圓心，半徑為r₁的圓軌道上運動，周期為T₁，總質量為m₁．隨后登陸艙脫離飛船，變軌到離月球更近的半徑為r₂的圓軌道上運動，此時登陸艙的質量為m₂，則下列有關說法正確的是（　�。�

• A、月球的質量M=

  4π2r1

  GT12

• B、登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂=

  r23 r13

  T₁
• C、登陸艙在r₁與r₂軌道上的速度比為

  m1r1 m2r1

• D、月球表面的重力加速度g_月=

  4π2r1

  T12

Answer 1

分析：1、根據萬有引力提供向心力G

Mm1

r12

=m₁

4π2

T2

r₁，化簡可得月球的質量M．
2、根據開普勒第三定律

T1

T2

=(

r1

r2

)

3

2

，化簡可得登陸艙在半徑為r₂軌道上的周期T₂．
3、根據萬有引力提供向心力G

Mm1

r12

=m1

v12

r1

可得，v₁=

GM r1

，因此速度之比等于二次方根下半徑的反比．
4、根據牛頓第二定律m₁r₁

4π2

T2

=m₁a₁，化簡可得向心加速度，可以判斷與月球表面的重力加速度的關系．

解答：解：A、根據G

Mm1

r12

=m₁r₁

4π2

T2

可得，月球的質量M=

4π2r13

GT12

，A項錯誤；
B、根據開普勒第三定律

T1

T2

=(

r1

r2

)

3

2

可得，T₂=

r23 r13

T₁，B項正確；
C、根據G

Mm1

r12

=m1

v12

r1

可得，v₁=

GM r1

，同理可得，v₂=

GM r2

，所以

v1

v2

=

r2 r1

，C項錯誤；
D、根據m₁r₁

4π2

T2

=m₁a₁可得，載著登陸艙的探測飛船的加速度a1=

4π2r1

T12

，該加速度不等于星球表面的重力加速度，D項錯誤．
故選：B．

點評：本題是典型的天體運動的問題，根據萬有引力提供向心力是解決這類問題的重要的關系，要能根據題目的要求熟練選擇不同的向心力的表達式．