Question

（2011?上饒二模）（I）一列沿x軸正向傳播的橫波在某時刻的波形圖如圖甲所示．a、b、c、d為介質中沿波的傳播方向上四個質點的平衡位置，若從該時刻開始計時，則圖乙是下面哪個質點經過

3

4

個周期后的振動圖象：

B

A．a處質點   B．b處質點       C．c處質點       D．d處質點

（II）如圖所示，用折射率n=

2

的玻璃做成內徑為R、外徑為R′=

2

R的半球形空心球殼，一束平行光射向此半球的外表面，與中心對稱軸OO'平行，試求：
（1）球殼內部有光線射出的區域；
（2）要使球殼內部沒有光線射出，至少用多大的遮光板，如何放置才行？

Answer 1

分析：（Ⅰ）簡諧橫波沿x軸正向傳播，判斷出圖示時刻各質點的速度方向，確定出經過

3

4

個周期后各質點的狀態，選擇與振動圖象t=0時刻振動情況相符的質點．
（Ⅱ）（1）當光線射到空心球殼內表面發生全反射時，則不能從球殼內表面射出．根據折射定律求出臨界角，由數學正弦定理求出光線在球殼外表面的折射角，再求出此表面的入射角，根據幾何知識求解球殼內部有光線射出的區域．（2）將有光線射出的部分擋住，球殼內部將沒有光線射出，由幾何知識求出遮光板的半徑．

解答：解：（I）由乙圖看出，t=0時刻質點經過平衡位置向下運動．簡諧橫波沿x軸正向傳播，
A、圖示時刻a點向上運動，經過

3

4

個周期后，a點到達波谷，位移達到負向最大，與乙圖t=0時刻振動情況不符．故A錯誤．
B、經過

3

4

個周期后，b點到達平衡位置向下運動，與乙圖t=0時刻振動情況相符．故B正確．
C、圖示時刻c點向下運動，經過

3

4

個周期后，a點到達波峰，位移達到正向最大，與乙圖t=0時刻振動情況不符．故C錯誤．
D、經過

3

4

個周期后，b點到達平衡位置向上運動，與乙圖t=0時刻振動情況不符．故D錯誤．
故選B
（II）（1）設光線a'a射入外球面，沿ab方向射向內球面，
剛好發生全反射，則 sinC=

1

n

=

1

2

∴C=45°
在△Oab中，Oa=

2

R，Ob=R
∴

sin(180°-C)

2 R

=

sinr

R

，sinr=

sinC

2

=

1

2

即 r=30°，則∠θ=C-r=45°-30°=15°
又∠O'Oa=i，由 

sini

sinr

=n，得sini=nsinr=

2

2

∴i=45°
即∠O'Ob=i+θ=45°+15°=60°
當射向外球面的入射光線的入射角小于i=45°時，這些光線都會射出內球面．因此，以OO'為中心線，上、下（左、右）各60°的球殼內有光線射出．
（2）由圖中可知，h=R′sini=

2

R?

2

2

=R，
所以，至少用一個半徑為R的遮光板，圓心過OO'軸并垂直該軸放置，才可以擋住射出球殼的全部光線，這時球殼內部將沒有光線射出．
故答案為：
（Ⅰ）B
（Ⅱ）（1）球殼內部有光線射出的區域為：以OO'為中心線，上、下（左、右）各60°的圓錐球殼內．
（2）一個半徑為R的遮光板，圓心過OO'軸并垂直該軸放置，才可以擋住射出球殼的全部光線．

點評：第1題要能根據波的傳播方向確定質點的振動方向，由振動圖象讀出質點的速度方向．第2題作出光路圖，充分運用數學上正弦定理和幾何知識研究光路．