Question

【題目】如圖所示，在xOy平面坐標系中，x軸上方存在電場強度E=1000V/m、方向沿y軸負方向的勻強電場；在x軸及與x軸平行的虛線PQ之間存在著磁感應強度為B=2T、方向垂直紙面向里的勻強磁場，磁場寬度為d．一個質量m=2×108kg、帶電量q=+1.0×105C的粒子從y軸上(0,0.04)的位置以某一初速度v0沿x軸正方向射入勻強電場，不計粒子的重力．

（1）若v0=200m/s．①求粒子第一次進入磁場時速度v的大小和方向；

②若該粒子恰好無法穿過磁場區域，求磁場的寬度d；

③求粒子由磁場第一次返回電場時，經過x軸的坐標；

（2）試證明：只要粒子能夠返回電場區域，則其在磁場中的軌跡對應x軸上的弦長為一定值；

（3）要使以大小不同的初速度（包括初速度為v0）射入電場的粒子都能經磁場區域后返回電場，求磁場的最小寬度d．

Answer 1

【答案】（1）①m/s，方向與x軸成45角②0.4m③0.32，0（2）2ah（3）0.2m

【解析】試題分析：（1）①粒子在電場中做類平拋運動，根據類平拋運動規律即可求解進入磁場時的速度；②作粒子的在磁場運動軌跡圖象，當運動軌跡恰好與磁場邊界相切，則粒子無法穿越磁場，根據牛頓第二定律和幾何關系即可求解磁場寬度d；③根據幾何關系即可求解；（2）根據牛頓第二定律和幾何關系進行求解；（3）粒子進入勻強磁場后做勻速圓周運動，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律求出軌跡半徑r．當初速度為0時粒子最容易穿過磁場． 要使以大小不同初速度射入電場的粒子都能經磁場返回，磁場的最小寬度d=r．

（1）①帶電粒子垂直進入電場中做類平拋運動

根據牛頓第二定律得：

根據運動學公式有：

聯立解得：

粒子剛進入磁場時豎直分速度大小為：

根據幾何關系有：

代入數據解得：

，即

故粒子進入磁場時速度大小為，方向與x軸成角

②作出粒子的運動軌跡圖如圖所示

當粒子運動到磁場邊界時，運動軌跡恰好與磁場邊界相切，此時粒子恰好無法穿過磁場區域，在磁場中由牛頓第二定律得：

解得：

根據幾何關系得：

解得：

③由幾何關系可得：

做類平拋運動的水平位移為

故粒子由磁場第一次返回電場時，經過x軸的坐標為

（2）只要粒子能夠返回電場區域，粒子的運動軌跡圖與（1）問中的圖類似

則此時對應的弦長為，而

解得：

根據類平拋運動規律得：

解得：

代入數據解得： 為一定值

（3）當初速度為0時粒子最容易穿過磁場

根據，

解得：

要使所有帶電粒子都返回電場，磁場的最小寬度為：d=0.2m