Question

如圖1所示，M、N為豎直放置的平行金屬板，兩板間所加電壓為U₀，S₁、S₂為板上正對的小孔。金屬板P和Q水平放置在N板右側，關于小孔S₁、S₂所在直線對稱，兩板的長度和兩板間的距離均為l；距金屬板P和Q右邊緣l處有一熒光屏，熒光屏垂直于金屬板P和Q；取屏上與S₁、S₂共線的O點為原點，向上為正方向建立x軸。M板左側電子槍發射出的電子經小孔S₁進入M、N兩板間。電子的質量為m，電荷量為e，初速度可以忽略。不計電子重力和電子之間的相互作用。

（1）求電子到達小孔S₂時的速度大小v；

（2）若板P、Q間只存在垂直于紙面向外的勻強磁場，電子剛好經過P板的右邊緣后，打在熒光屏上。求磁場的磁感應強度大小B和電子打在熒光屏上的位置坐標x；

（3）若金屬板P和Q間只存在電場，P、Q兩板間電壓u隨時間t的變化關系如圖2所示，單位時間內從小孔S₁進入的電子個數為N。電子打在熒光屏上形成一條亮線。忽略電場變化產生的磁場；可以認為每個電子在板P和Q間運動過程中，兩板間的電壓恒定。

a. 試分析在一個周期（即2t₀時間）內單位長度亮線上的電子個數是否相同。

b. 若在一個周期內單位長度亮線上的電子個數相同，求2t₀時間內打到單位長度亮線上的電子個數n；若不相同，試通過計算說明電子在熒光屏上的分布規律。

Answer 1

（1）根據動能定理

                                               【3分】         

   解得：  ①                                   【3分】

（2）電子在磁場中做勻速圓周運動，設圓運動半徑為 R，在磁場中運動軌跡如圖，由幾何關系

          

解得：                【2分】

根據牛頓第二定律：    【1分】

解得：            【1分】

設圓弧所對圓心為α，滿足： 

由此可知：  

電子離開磁場后做勻速運動，滿足幾何關系：   【1分】

通過上式解得坐標                                  【1分】

（3）

a. 設電子在偏轉電場PQ中的運動時間為t₁，PQ間的電壓為u

垂直電場方向：  ②          

平行電場方向：  ③              

此過程中電子的加速度大小   ④   

       ①、②、③、④聯立得：       【1分】

電子出偏轉電場時，在x方向的速度   

  ⑤             

電子在偏轉電場外做勻速直線運動，設經時 間t₂到達熒光屏。則

水平方向：  ⑥         

 豎直方向：  ⑦

①    、⑤、⑥、⑦ 聯立，解得：              【1分】          

      電子打在熒光屏上的位置坐標 ⑧     【1分】

對于有電子穿過P、Q間的時間內進行討論：

由圖2可知，在任意時間內，P、Q間電壓變化相等。

由⑧式可知，打在熒光屏上的電子形成的亮線長度。

所以，在任意時間內，亮線長度相等。

由題意可知，在任意時間內，射出的電子個數是相同的。也就是說，在任意時間內，射出的電子都分布在相等的亮線長度范圍內。因此，在一個周期內單位長度亮線上的電子個數相同。       【1分】

b. 現討論2t₀時間內，打到單位長度亮線上的電子個數：

當電子在P、Q電場中的側移量x₁=時，

由得：u=2U₀                                 【1分】

當偏轉電壓在0~±2U₀之間時，射入P、Q間的電子可打在熒光屏上。

由圖2可知，一個周期內電子能從P、Q電場射出的時間

所以，一個周期內打在熒光屏上的電子數         【1分】

由⑧式，電子打在熒光屏上的最大側移量

亮線長度L=2x_m=3l                                       【1分】

      所以，從0~2t₀時間內，單位長度亮線上的電子數

                                         【1分】