Question

一個豎直放置的光滑圓環，半徑為，、、、分別是其水平直徑和豎直直徑的端點．圓環與一個光滑斜軌相接，如圖4所示．一個小球從與點高度相等的點從斜軌上無初速下滑．試求：

過點時，對軌道的壓力多大？

小球能否過點，如能，在點對軌道壓力多大？如不能，小球于何處離開圓環？

Answer 1

【小題1】

【小題2】

故小球經過圓環最低點時，對環的壓力為．小球到達高度為的點開始脫離圓環，做斜上拋運動．

解析:

【小題1】小球在運動的全過程中，始終只受重力和軌道的彈力．其中，是恒力，而是大小和方向都可以變化的變力．但是，不論小球是在斜軌上下滑還是在圓環內側滑動，每時每刻所受彈力方向都與即時速度方向垂直．因此，小球在運動的全過程中彈力不做功，只有重力做功，小球機械能守恒．

    從小球到達圓環最低點開始，小球就做豎直平面圓周運動．小球做圓周運動所需的向心力總是指向環心點，此向心力由小球的重力與彈力提供．

（1）因為小球從到機械能守恒，所以

      ①

           ②

     ③

解①②③得 

【小題2】小球如能沿圓環內壁滑動到點，表明小球在點仍在做圓周運動，則，可見，是恒量，隨著的減小減��；當已經減小到零（表示小球剛能到達）點，但球與環頂已是接觸而無擠壓，處于“若即若離”狀態）時，小球的速度是能過點的最小速度．如小球速度低于這個速度就不可能沿圓環到達點．這就表明小球如能到達點，其機械能至少應是，但是小球在點出發的機械能僅有＜因此小球不可能到達點．

又由于，

即

因此，＞0，小球從到點時仍有沿切線向上的速度，所以小球一定是在、之間的某點離開圓環的．設半徑與豎直方向夾角，則由圖可見，小球高度

            ④

根據機械能守恒定律，小球到達點的速度應符合：

                 ⑤

小球從點開始脫離圓環，所以圓環對小球已無彈力，僅由重力沿半徑方向的分力提供向心力，即

            ⑥

解④⑤⑥得 

故小球經過圓環最低點時，對環的壓力為．小球到達高度為的點開始脫離圓環，做斜上拋運動．