Question

如圖甲所示，相距為L的光滑平行金屬導軌水平放置，導軌一部分處在以OO′為右邊界勻強磁場中，勻強磁場的磁感應強度大小為B，方向垂直導軌平面向下，導軌右側接有定值電阻R，導軌電阻忽略不計．在距邊界OO′也為L處垂直導軌放置一質量為m、電阻r的金屬桿ab．
（1）若ab桿在恒力作用下由靜止開始向右運動3L距離，其速度一位移的關系圖象如圖乙所示（圖中所示量為已知量）．求此過程中電阻R上產生的焦耳熱Q_R及ab桿在剛要離開磁場時的加速度大小a．
（2）若ab桿固定在導軌上的初始位置，使勻強磁場保持大小不變，繞OO′軸勻速轉動．若從磁場方向由圖示位置開始轉過

π

2

的過程中，電路中產生的焦耳熱為Q₂．則磁場轉動的角速度ω大小是多少？

Answer 1

分析：（1）運用動能定理分別研究ab桿在位移L到3L的過程及位移為L的兩個過程，列式求解電熱Q₁．推導出安培力的表達式，根據牛頓第二定律求加速度．
（2）當磁場按B_t=Bcos t規律變化時，閉合回路的磁通量Φ的變化規律為Φ=Bcosωt=BL²cosωt，電動勢最大值為E_m=BωL²，當磁感應強度由B減小到零，根據焦耳定律求ω的大�。�

解答：解：（1）ab桿離起始位置的位移從L到3L的過程中，由動能定理可得：
F(3L-L)=

1

2

m(

v

2 2

-

v

2 1

)
ab桿在磁場中由起始位置發生位移L的過程，根據功能關系，恒力F做的功等于ab桿增加的動能與回路產生的焦耳熱之和，則有：
FL=

1

2

m

v

2 1

+Q總
聯立解得：Q總=

m( v 2 2 -3 v 2 1 )

4

，
R上產生熱量為：QR=

Rm( v 2 2 -3 v 2 1 )

4(R+r)

ab桿剛要離開磁場時，水平方向上受安培力F_總和恒力F作用，
安培力為：F安=

B2L2v1

R+r

由牛頓第二定律可得：F-F_安=ma
解得：a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

（2）磁場旋轉時，可等效為矩形閉合電路在勻強磁場中反方向勻速轉動，所以閉合電路中產生正弦式電流，感應電動勢的峰值為：Em=BSω=BL2ω
有效值為：E=

Em

2

，Q2=

E2

R+r

?

T

4

而T=

2π

ω

  
得：ω=

4Q2(R+r)

πB2L4

答：（1）此過程中電阻R上產生的焦耳熱QR=

Rm( v 2 2 -3 v 2 1 )

4(R+r)

ab桿在剛要離開磁場時的加速度大小a=

v 2 2 - v 2 1

4L

-

B2L2v1

m(R+r)

．
（2）若ab桿固定在導軌上的初始位置，使勻強磁場保持大小不變，繞OO′軸勻速轉動．若從磁場方向由圖示位置開始轉過

π

2

的過程中，磁場轉動的角速度為

4Q2(R+r)

πB2L4

．

點評：本題關鍵是運用動能定理、牛頓第二定律、焦耳定律等力學和電路規律研究電磁感應現象．對于正弦交變電流，要有有效值求電熱．