Question

如圖所示,一塊質量為M?長為l的勻質板放在很長的光滑水平桌面上,板的左端有一質量為m的物塊,物塊上連接一根很長的細繩,細繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪,某人以恒定的速度v向下拉繩,物塊最多只能到達板的中點,而且此時板的右端尚未到達桌邊定滑輪處.求:

(1)物塊與板的動摩擦因數及物塊剛到達板的中點時板的位移;
(2)若板與桌面間有摩擦,為使物塊能到達板的右端,板與桌面間的動摩擦因數的范圍;
(3)若板與桌面間的動摩擦因數取(2)問中的最小值,在物塊從板的左端運動到右端的過程中,人拉繩的力所做的功(其他阻力均不計).

Answer 1

(1)  (2)大于  (3)2Mv²

(1)設物塊在板上滑行的時間為t₁,對板應用動量定理得:
μ₁mgt₁=Mv,t₁=                 ①
設在此過程中物塊前進位移為s₁,板前位移為s₂,
則s₁=v·t₁                                             ②
s₂=t₁                                                   ③
s₁-s₂=                            ④
由①~④得物塊與板間的動摩擦因數為μ₁=板的位移s₂=
(2)設板與桌面間的動摩擦因數為μ₂,物塊在板上滑行的時間為t₂.則應用動量定理得
[μ₁mg-μ₂(m+M)g]·t₂=Mv,
t₂=
又設物塊從板的左端運動到右端的時間為t₃
則

為了使物塊能到達板的右端,必須滿足t₂≥t₃
即≥,μ₂≥
所以為了使物塊能到達板的右端,應使板與桌面的動摩擦因數μ₂≥
(3)設繩子的拉力為T,物塊從板的左端到達右端的過程中物塊的位移為s₃,則有:T-μ₁mg=0,s₃=v·t₃=2l
由功的計算公式得:W_T=T·s₃=μ₁mg·2l=·mg·2l=2Mv²
所以繩的拉力做功為2Mv².
(或W=ΔE_k+Q₁+Q₂=Mv²+μ₁mgl+μ₂(M+m)gl=2Mv₂)