Question

（2009?黃岡模擬）如圖為回旋加速器示意圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示．質子質量為m，電荷量為q．設質子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，加速質子時的電壓恒為U，質子在電場中運動時，不考慮磁場的影響．求：
（1）質子能達到的最大速度；
（2）通過計算說明當R＞＞d時，質子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的總時間可忽略不計；
（3）若D形盒內存在的磁場磁感應強度周期遞增，質子便可在電場中加速，而繞行半徑不變．為使質子繞行半徑恒為R₀，求：質子第i次進入磁場時磁感應強度B_i及質子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間t₀（i＞1，不計質子在電場中加速的時間）．

Answer 1

分析：（1）根據洛倫茲力提供向心力求出軌道半徑的大小，當半徑等于D形盒的半徑時，速度最大．
（2）粒子在電場中做勻加速直線運動，結合勻變速直線運動的平均速度公式求出在電場中加速的時間，結合粒子在磁場中運行的周期，求出粒子在磁場中的運行時間，通過比值的方法證明當R＞＞d時，質子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的總時間可忽略不計；
（3）根據動能定理求出粒子第i次進入磁場時的速度，結合半徑公式求出磁感應強度的通項表達式，通過粒子在磁場中做勻速圓周運動，求出質子第i次在磁場中的繞行時間，從而根據數學方法求出粒子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間．

解答：解：（1）質子在磁場中作圓周運動，根據qvB=m

v2

r

得，半徑r=

mv

qB

，①
當r=R時有最大速度vm=

qBR

m

②
（2）設質子在電場中經n次加速后，速度達到v_m，加速的時間為t₁，從電場對質子速率改變的角度可將質子在電場中的運動等效為勻加速直線運動，有：
質子在電場中的平均速度為

.

v

=

0+vm

2

，③
可得：t1=

2nd

vm

④
設質子在磁場中作圓周運動的周期為T，運動時間為t₂，有：T=

2πm

qB

⑤
t2=

n

2

T⑥
由②-⑥可得：

t1

t2

=

2d

πR

即當R＞＞d時，t₁＜＜t₂，故在計算質子在D型盒中的總時間可忽略電場中的運動時間．
（3）設質子經i次加速后速度為v_i，由動能定理得，iqU=

1

2

m

v

2 i

，⑦
質子第i次進入磁場時，由①、⑦得            Bi=

1

R0

2imU q

質子第i次在磁場中的繞行時間           ti=

πR0

vi

=πR0

m 2iqU

⑧
由⑧式可得質子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間：t0=t1+t2+t3+…+ti-1=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)（i＞1）
答：（1）質子能達到的最大速度為vm=

qBR

m

．
（2）證明計算過程如上所述．
（3）質子第i次進入磁場時磁感應強度Bi=

1

R0

2imU q

，質子從開始運動到第i次進入磁場時所用的總時間t0=πR0

m 2qU

(1+

1

2

+

1

3

+…+

1

i-1

)．

點評：解決本題的關鍵知道粒子在電場中加速，做勻加速直線運動，在磁場中偏轉，做勻速圓周運動．對于第（3）問，對數學能力的要求較高，抓住半徑不變，求出磁感應強度以及運動時間的通項表達式．