Question

（20分）如圖所示，光滑水平地面上方被豎直平面MN分隔成兩部分，左邊（包括豎直平面MN）有勻強磁場B，右邊有勻強電場E₀（圖中未標）。在O點用長為L＝5m的輕質不可伸長的絕緣細繩系一質量m_A＝0.02kg、帶負電且電荷量q_A＝4×10^－4C的小球A，使其在豎直平面內以速度v_A＝2.5m/s沿順時針方向做勻速圓周運動，運動到最低點時與地面剛好不接觸。處于原長的輕質彈簧左端固定在墻上，右端與質量m_B＝0.01kg、帶負電且電荷量q_B＝2×10^－4C的小球B接觸但不連接，此時B球剛好位于M點�，F用水平向左的推力將B球緩慢推到P點（彈簧仍在彈性限度內），推力所做的功是W＝2.0J，當撤去推力后，B球沿地面向右運動到M點時對地面的壓力剛好為零，繼續運動恰好能與A球在最低點發生正碰，并瞬間成為一個整體C（A、B、C都可以看著質點），碰撞前后總電荷量保持不變，碰后瞬間勻強電場大小變為E₁＝1×10³ N/C，方向不變。g＝10m/s²。求：
（1）勻強磁場的磁感應強度B的大小和方向？
（2）勻強電場的電場強度E₀的大小和方向？
（3）整體C運動到最高點時繩對C的拉力F的大��？

Answer 1

（1）B＝25T，方向垂直紙面水平向外
（2）E₀＝5×10² N/C，方向豎直向下
（3）F＝1.5N

（1）設B球運動到M點時速度為v_B，根據能量守恒有
W＝, v_B＝20 m / s········································（1分）
B球運動到M點時對地面的壓力剛好為零，則
q_Bv_BB＝m_Bg ·············（1分）  解得B＝25T···············（1分）
B球帶負電，受洛倫茲力豎直向上，則磁場方向垂直紙面水平向外�！ぁぃ�1分）
（2）小球A在豎直平面內做勻速圓周運動，所以受到的電場力與重力大小相等、方向相反。即有q_AE₀＝m_Ag·····································（1分）
解得E₀＝5×10² N/C···········································（1分）
A球帶負電，受到的電場力豎直向上，則電場方向豎直向下�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぃ�1分）
（3）設A、B碰后瞬間整體C帶電荷量為q_c，質量為m­_c，速度為v_c，由動量守恒
q_c＝q_A＋q_B＝6×10^－4C，m_c＝m_A＋m_B＝0.03kg
m_Bv_B－m_Av_A＝m_c v_c·············································（1分）
解得v_c＝5m/s
設整體C受到電場力和重力的合力為F_合，在最低點做圓周運動需要的向心力為F_向，則F_合＝q_cE₁－m_cg＝0.3N，F_向＝＝0.15N, F_合＞F_向，所以，細繩將松馳，整體C不會做圓周運動到達最高點，而是從碰后開始做類平拋運動�！ぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぁぃ�2分）
設做類平拋運動的加速度為a，經過時間t在某點S將繩繃緊，對應的水平方向的距離為x，豎直方向的距離為y，如圖，則

a＝F_合/m_c····（1分）      x＝v_ct ······（1分）
y＝·······························（1分）
且有x²＋(L－y)²＝L²或x²＋(y－L)²＝L² ····（1分）
解得a＝10 m/s²，t＝1s，x＝5m，y＝5m
由于x＝y＝L，某點S與O點在同一水平位置，C的水平速度變為零。（1分）
C從S點到最高點之間將做圓周運動，設在S點的豎直速度為v_s，到達最高點的速度為v，則v_s＝at,  v_s＝10m/s   ································（1分）
, v＝10m/s·····················（1分）
根據牛頓第二定律得F＋m_cg－q_cE₁＝······················（2分）
解得F＝1.5N·················································（1分）