Question

如圖所示，一輕繩吊著質量為4m粗細均勻的棒，棒下端離地面高H，頂端套著一個細環，環的質量為m，棒與環相互間的最大靜摩擦力等于滑動摩擦力4mg．斷開輕繩，棒和環自由下落．落地后向上彈起的速度與落地時速度大小相等，不計空氣阻力，運動過程中環與棒不分離．求：
（1）棒第一次與地面碰撞彈起時，環的加速度多大？
（2）棒第一次與地面碰撞彈起，當環與棒剛剛保持相對靜止時的共同速度為多少？
（3）棒上升的最大高度是多少？
（4）棒第一次與地面碰撞彈起到第二次落地前，由于摩擦而產生的內能是多少？

Answer 1

分析：（1）因為一直最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，故可以的棒彈起后環的加速度．
（2）彈起后，環的運動由兩個過程構成，一個是向下的勻減速，另一個是向上的勻加速直到與棒的速度相等
（3）棒先向上作勻減速運動后與環共同豎直上拋，兩次位移之和為其最大高度
（4）摩擦力在相對位移上做的功等于產生的內能．

解答：解：
（1）當棒第一次彈起時，對棒有：
4mg+f=4ma_棒
解得：a_棒=2g  向下
對環：mg-f=ma_環
解得：a_環=-3g  向上
（2）對環先向下做勻減速運動后向上作勻加速運動，經過t時間，兩者速度相等．取向上方向為正

對棒：v_t=v-a_棒t=

2gH

-2gt
對環：vt=-v+a環t=-

2gH

-3gt
解得：
vt=

1

5

2gH

（3）棒先向上作勻減速運動后與環共同豎直上拋，兩次的位移分別為h₁和h₂

h1= v2- v 2 t 2a = 2gH- 2gH 25 4g = 1 2 H(1- 1 25 )= 12 25 H h2= v 2 t 2g = 1 25 2gH 2g = 1 25 Hh=h1+h2= 13 25 H

棒的最大高度為：h₁+h₂=H
（4）彈起知兩者速度相等這段時間內，棒的位移為：h1′，環的位移為：h₂′
則
h1′=h1=

12

25

H
h2′=

-v+vt

2

t=-

8

25

H
環與棒的相對位移為：
△s=h1′-h2′=

4

5

H
則由摩擦力在相對位移上做的功，等于產生的內能可得：
△E內=f△s=

16

5

mgH

點評：本題綜合性較強，涉及多過程運動分析，難點在于分析棒和環的相對運動，進而得出位移，最后一個重要知識點是摩擦生熱的計算．