Question

【題目】恒定電路中的電場是由電源、導線等電路元件所積累的電荷共同形成的。盡管這些電荷也在運動，但有的流走了，另外的又來補充，電荷的分布是穩定的，不隨時間變化，電場的分布也不會隨時間變化。這種由穩定分布的電荷所產生的穩定的電場，叫作恒定電場。由于在恒定電場中，任何位置的電荷分布和電場強度都不隨時間變化，它的基本性質與靜電場相同。在靜電場中所講的電勢、電勢差及其與電場強度的關系等，在恒定電場中同樣適用。

（1）在圖1的串聯電路中，I1、I2、I3分別表示流過電路中1、2、3各點的電流。請根據恒定電場的上述特點和電流的定義式，證明：I1=I2=I3；

（2）在圖1的串聯電路中，如果以φ0、φ1、φ2、φ3分別表示電路中0、1、2、3各點的電勢，以U01、U12、U23、U03分別表示0與1、1與2、2與3、0與3之間的電勢差（電壓），請用電勢差跟電勢的關系，證明：；

（3）電流做功的實質是：導體中的恒定電場對自由電荷的靜電力在做功。一段橫截面積為S、長為l的直導體，單位體積內有n個自由電荷，自由電荷的電量為e。該導體通有恒定電流時I，導體兩端的電勢差為U，假設自由電荷定向移動的速率均為v。

a.由于導體中電荷的分布是穩定的，設在任意時間t內，通過這段導體任意截面的電量都為q。如圖2所示，相當于有電量為q的自由電荷從導體的一端到了另一端。根據電流做功的實質：導體中的恒定電場對這些自由電荷的靜電力做的功就等于電流做功。請根據以上信息，證明：任意時間t內電流做功。

b.導體中存在恒定電場，導體中全部電荷都受到電場力的作用，某段時間內，有的電荷流走了，另外的電荷又來補充，導體中電荷的總量是不變的。根據電流做功的實質：任意時間t內，恒定電場對導體中全部自由電荷的靜電力做的功等于電流做功。請根據以上信息，證明：任意時間t內電流做功

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）證明見解析

【解析】

（1）因為電荷的分布是穩定里的，所以任意時間t內，流過回路任意截面的電量是相同的，則有

，

根據電流的定義式

可證

（2）根據電勢差與電勢的關系

，，

相加可得

（3）a.在任意時間t內，通過這段導體任意截面的電量都為q，相當于有電量為q的自由電荷從導體的一端到了另一端。導體兩端的電勢差為U，導體中的恒定電場對這些自由電荷的靜電力做的功

其中

可證

b.導線中的電場強度為

導線中全部電荷數為

每個自由電荷受到的電場力為

恒定電場對導線中全部電荷的靜電力為

恒定電場對導線中全部電荷的靜電力做的功

其中

可證