Question

如圖所示，有一半徑為R=0.30 m的光滑半圓形細管AB，將其固定在豎直墻面并使B端切線水平，一個可視為質點的質量為0.50 kg的小物體優由細管上端沿A點切線方向進入細管，從B點以速度v_B=4.0 m/s飛出后，恰好能從一傾角為θ=37°的傾斜傳送帶頂端C無碰撞的滑上傳送帶。已知傳送帶長度為L=2.75 m(圖中只畫出了傳送帶的部分示意圖)，物體與傳送帶之間的動摩擦因數為μ=0.50（取sin37°=0.60，cos37°=0.80，g=10 m/s²，不計空氣阻力，不考慮半圓形管AB的內徑）。
(1)求物體在A點時的速度大小及對軌道的壓力大小與方向；
(2)若傳送帶以v₁=2.5 m/s順時針勻速轉動，求物體從C到底端的過程中，由于摩擦而產生的熱量Q；
(3)若傳送帶逆時針勻速轉動且速度為v₂，物體到達底端時動能為E_kD，請在下面的坐標系中畫出E_kD隨v₂變化的關系圖線，要求在坐標軸上標出圖線關鍵點的坐標值，并說明是什么曲線。（不要求寫出計算過程，只按畫出的圖線評分）

     

Answer 1

解：(1)由，得v_A=2 m/s
設物體在A點所受軌道作用力為F_A
則由，可得
由牛頓第三定律得物體在A點時對軌道的壓力大小為1.67 N，方向為豎直向上
(2)物體落到傳送帶頂端C時的速度大小為
傳送帶順時針勻速轉動時，對物體施加的摩擦力沿傳送帶上表面向上
則由mg(sinθ-μcosθ) =ma₁，可得物體勻加速運動的加速度大小為a₁=2 m/s²
由，得物體從C到底端的時間t=0.5 s
此過程中，由于摩擦而產生的熱量為Q=f·(L+s_帶)=μmgcosθ·(L+v₁t)=8 J
(3)
Ⅰ、中間段曲線及起始點正確1分，方程正確1分（方程可以不寫在圖線上）；
Ⅱ、v₂≤5 m/s時，E_kD=9 J或在圖上標出點(5，9)，且圖線正確1分；
Ⅲ、m/s時，E_kD=20 J或在圖上標出點，且圖線正確1分；
分情況討論；
①當v₂≤v_C=5 m/s時，物體一直以a₁=2 m/s²勻加速下滑，到達D點時的速度大小為，即E_kD=
②若物體所受傳送帶摩擦力沿傳送帶上表面向下
則物體加速度大小為a₂=g(sinθ+μcosθ) =10 m/s²
若一直以a₂勻加速，則
所以：當時，
③當時，物體先以a₂=10 m/s²勻加速，與傳送帶速度相同后，再以a₁=2 m/s²勻加速運動到D端
則