Question

（2008?昆明模擬）如圖所示，ABC是半徑為R的大型光滑半圓柱面軌道，運動員乙腳踏一滑板車靜止于軌道最低點，運動員甲腳踏一滑板車背對乙從軌道最高點A由靜止開始下滑，甲到達最低點的瞬間被運動員乙抓住，之后兩人一起以相同的速度共同沿圓柱面上滑，已知兩運動員連同自己的小車總質量均為m．
（1）求兩人共同沿圓柱面上滑的最大高度；
（2）求當兩人再次回到圓柱面最低點時，他們對軌道壓力的大��；
（3）當兩人再次回到圓柱面最低點的瞬間乙用力將甲推出，若乙將甲推出后自身恰能到達軌道最高點C，求乙將甲推出過程所做的功．

Answer 1

分析：根據甲下滑過程機械能守恒，甲乙碰撞瞬間，水平方向動量守恒，可求甲乙共同上滑的速度，根據甲乙一起上滑過程機械能守恒列式，可求二人共同上滑的最大高度；
甲乙二人組成的系統一起滑到過程，機械能守恒，故再次下滑到最低點時速度不變，根據牛頓第二定律可求解對軌道的壓力；
根據動量守恒和功能關系聯立列式，可求乙將甲推出過程所做的功．

解答：解：（1）設甲下滑到最低點時速度大小為v₀，甲、乙獲得的共同速度大小為v₁，甲下滑過程機械能守恒，有：mgR=

1

2

m

v

2 0

①
甲、乙獲得共同速度的過程，甲、乙組成的系統水平方向動量守恒：
mv₀=2mv₁
甲、乙一起上滑的過程機械能守恒，故：2mgh=

1

2

(2m)

v

2 1

聯立各式，解得：h=

R

4

（2）甲、乙再次回到最低點時，他們的速度仍為v₁，根據牛頓第二定律：N-2mg=2m

v 2 1

R

故解得：N=3mg，
根據牛頓第三定律可得，對軌道的壓力等于軌道對人的支持力，即N′=N=3mg
（3）由于乙將甲推出后自身恰能到達最高點C，則乙將甲推出后的速度大小應為v₀，設甲被乙推出后的速度為v₂，由甲、乙組成的系統水平方向動量守恒，得：2mv₁=mv₂-mv₀
由功能關系得，乙將甲推出過程所做的功：W=

1

2

m

v

2 2

+

1

2

m

v

2 0

-

1

2

(2m)

v

2 1

聯立上述各式，解得：W=

9

2

mgR
答：（1）兩人共同沿圓柱面上滑的最大高度為

R

4

； 
（2）當兩人再次回到圓柱面最低點時，他們對軌道壓力的大小為3mg；
（3）乙將甲推出過程所做的功為

9

2

mgR．

點評：本題考查動量守恒和機械能守恒的應用，綜合性較強，要求有一定的綜合分析能力，難度適中．