Question

（2013?海南）如圖，紙面內有E、F、G三點，∠GEF=30°，∠EFG=135°．空間有一勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面向外．先使帶有電荷量為q（q＞0）的點電荷a在紙面內垂直于EF從F點射出，其軌跡經過G點；再使帶有同樣電荷量的點電荷b在紙面內與EF成一定角度從E點射出，其軌跡也經過G點．兩點電荷從射出到經過G點所用的時間相同，且經過G點時的速度方向也相同．已知點電荷a的質量為m，軌道半徑為R，不計重力．求：
（1）點電荷a從射出到經過G點所用的時間；
（2）點電荷b的速度大�。�

Answer 1

分析：（1）找出圓心，畫出軌跡，由幾何關系找出偏轉角，根據公式t=

θ

2π

T求在磁場中的偏轉時間；
（2）根據兩點電荷從射出到經過G點所用的時間相同，且經過G點時的速度方向也相同，畫出軌跡，找半徑關系即可求出點電荷b的速度大小．

解答：解；設點電荷a的速度為v，由牛頓第二定律得：qvB=

mv2

R

  
解得：v=

qRB

m

    ①
設點電荷a作圓周運動的周期為T，則：T=

2πR

v

   ②
點電荷運動軌跡如圖所示：

設點電荷a從F點進入磁場后的偏轉角為θ
由幾何關系得：θ=90°          ③
故a從開始運動到經過G點所用時間t=

90

360

T=

1

4

T  
①②③聯立得：t=

πm

2qB

    ④
（2）設點電荷b的速度大小為v₁，軌道半徑為R₁，b在磁場中偏轉角為θ₁，
由題意得：t=

R1θ1

v1

=

Rθ

v

       ⑤
解得：v1=

R1θ1

Rθ

v      ⑥
由于兩軌道在G點相切，所以過G點的半徑OG和O₁G在同一條直線上，
由幾何關系得：θ₁=60°     ⑦
R₁=2R          ⑧
②③⑥⑦⑧聯立得：v1=

4qBR

3m

答：（1）點電荷a從射出到經過G點所用的時間t=

πm

2qB

；
（2）點電荷b的速度大小v1=

4qBR

3m

．

點評：本題的難點在于幾何圖象的確定，要抓住兩點電荷從射出到經過G點所用的時間相同，且經過G點時的速度方向也相同，則可得出各自圓弧所對應的圓心角，從而確定粒子運動所經歷的時間．