Question

如圖所示，光滑水平地面上停放著一輛質量為M的小車，小車的左側靠在豎直墻壁上，半徑為R的四分之一光滑圓弧軌道AB的最低點B與水平軌道BD平滑相接，車的右端固定有一個輕質彈簧，水平軌道BC段粗糙，CD段光滑．現有一可視為質點的質量為m物塊從A點正上方h=R處無初速度下落，恰好落入小車沿圓軌道滑動，然后沿水平軌道滑行，與彈簧相接觸并壓縮彈簧，最后又返回到B相對于車靜止．已知M=3m，物塊與水平軌道BC間的動摩擦因數為μ，不考慮空氣阻力和物塊落入圓弧軌道時的能量損失．求
（1）物塊下落后由A滑至B處時，對軌道的壓力大�。�
（2）水平軌道BC段的長度；
（3）壓縮彈簧過程中，彈簧所具有的最大彈性勢能．

Answer 1

分析：（1）物塊從開始下落到水平軌道B處的過程中，小車不動，物塊的機械守恒，由機械能守恒定律求出到達B點時的速度大小．物塊經過B點時，由重力和軌道支持力的合力提供向心力，由牛頓定律求出對軌道的壓力大小；
（2）物塊在小車上運動的過程中，小車向右運動，物塊與小車組成的系統動量守恒，根據動量守恒定律求出共同的速度，由能量守恒定律求解BC段的長度；
（3）物塊滑上水平軌道至將彈簧壓縮至最短的過程中，對系統由動量守恒和能量守恒求解彈簧所具有的最大彈性勢能．

解答：解：（1）物塊從靜止釋放至B的過程中小車不動，對物體由機械能守恒定律有：
mg（h+R）=

1

2

m

v

2 B

…①
解得：v_B=2

gR

…②
在B處時，由牛頓第二定律有：N-mg=m

v 2 B

R

…③
解得：N=5mg…④
（2）物塊滑上水平軌道至B與小車相對靜止的過程中，對系統由動量守恒和能量守恒有：
mv_B=（m+M）v_共…⑤
 

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)

v

2 共

+2μmgL…⑥
解得：L=

3R

4μ

…⑦
（3）物塊滑上水平軌道至將彈簧壓縮至最短的過程中，對系統由動量守恒和能量守恒有：
 mv_B=（m+M）v′_共…⑧

1

2

m

v

2 B

=

1

2

(M+m)v

′

2 共

+μmgL+E_pmax…⑨
解得：E_pmax=

3

4

mgR…⑩
答：（1）物塊下落后由A滑至B處時，對軌道的壓力大小是5mg；
（2）水平軌道BC段的長度是

3R

4μ

；
（3）壓縮彈簧過程中，彈簧所具有的最大彈性勢能是

3

4

mgR．

點評：本題首先要分析物理過程，確定研究對象，其次要把握解題的規律，運用用機械能守恒、牛頓運動定律、動量守恒和能量守恒結合研究，難度適中．