Question

如圖所示在平面直角坐標系xoy中，第 I象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第 IV象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電粒子從y軸正半軸上的M點以速度v_o垂直于y軸射入電場，經x軸上的N點與x軸正方向成θ=60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的p點垂直于y軸射出磁場，不計粒子重力，求：
（1）求N點速度大小
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑
（3）粒子從M點運動到p點的總時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在坐標軸第一象限做類平拋運動，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場時的速度方向與x軸方向成60°角，根據類平拋運動規律，根據初速度可以求出粒子進入磁場的初速度v；
（2）粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應強度B，可得粒子做圓周運動的軌道半徑R；
（3）根據粒子在磁場中的運動軌跡可以求得粒子做類平拋運動在x軸方向的位移，由于在x軸方向做勻速直線運動，故類平拋時間t可求．根據軌跡的圓心角可由t=

θ

2π

T求出粒子在磁場中運動的時間，即可得到總時間．

解答：解：（1）因為粒子在電場中做類平拋運動，水平方向做勻速直線運動，豎直方向做初速度為零的勻加速直線運動，設粒子過N點時的速度為v，則有

根據平拋運動的速度關系得：粒子在N點進入磁場時的速度v=

vx

cos60°

=

v0

cos60°

=2v₀
（2）設粒子在磁場中運動的軌道半徑為R，則由qvB=m

v2

R

，得R=

mv

qB

=

2mv0

qB

（3）畫出粒子在磁場中運動軌跡如圖．設N點的橫坐標為x，根據幾何知識得到：
  x=Rsinθ=

3 mv0

qB

則粒子在電場中運動時間為t₁=

x

v0

=

3 m

qB

粒子在磁場中運動時間為t₂=

R? 2 3 π

v

=

2πm

3qB

故總時間為t=t₁+t₂=（

3

+

2π

3

）

m

qB

答：（1）N點速度大小是2v₀．
（2）粒子在磁場中運動的軌道半徑是

2mv0

qB

．
（3）粒子從M點運動到p點的總時間是（

3

+

2π

3

）

m

qB

．

點評：本題是帶電粒子在組合場中運動的問題，粒子垂直射入電場，在電場中偏轉做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式．