Question

如圖甲所示，水平地面上有一輛小車，小車上固定有豎直光滑絕緣管，管長為L，管內底部有一質量m=0.2g，電荷量q=+8×10^-5C的小球，小球的直徑比管的內徑略�。�在管口所在水平面MN的下方存在著垂直紙面向里、磁感應強度B₁=15T的勻強磁場，MN面上方存在著垂直紙面向外、磁感應強度B₂=15T的勻強磁場，MN上下的整個區域還存在著豎直向上、場強E=25V/m的勻強電場．現讓小車始終保持v=2m/s的速度勻速向右運動，以帶電小球剛經過場的邊界PQ為計時的起點，測得小球對管側壁的彈力F_N隨小球到管底的高度h的變化關系如圖乙所示．g取10m/s²，不計空氣阻力．求：
（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小a；
（2）絕緣管的長度L；
（3）小球離開管后每次經過水平面MN時小球距管口的距離△x．

Answer 1

（1）小球在管內運動時，以小球為研究對象，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和大小恒定、方向豎直向上的洛倫茲力，設加速度為a，由牛頓第二定律有：
qB₁v+qE-mg=ma
則：a=

qB1v+Eq-mg

m

=12m/s2；
（2）小球在管中豎直方向做勻加速直線運動，在小球運動到管口時，F_N=2.4×10^-3N，設v₁為小球豎直分速度，水平方向有：
F_N-qv₁B₁=0
解得：v1=

FN

qB1

=2m/s
豎直方向有：v₁²=2aL
解得：L=

v 21

2a

=

1

6

m
（3）小球離開管口進入復合場，小球受到豎直向下的重力、豎直向上的電場力和方向隨時發生變化的洛倫茲力，
其中：
qE=8×10^-5×25=2×10^-3N
mg=0.2×10^-3×10=2×10^-3N
有qE=mg，故電場力與重力平衡，小球在復合場中做勻速圓周運動，合速度v'與MN成45°角，軌道半徑為R，（如圖）qvB2=

mv′2

R

R=

mv′

qB2

=

2

3

m
小球離開管口開始計時，到再次經過MN所通過的水平距離
x1=2Rsin45°=

2

R=

2

3

m
T=

2πR

v′

=

2πm

qB2

對應的時間有：
t=

1

4

T=

πm

2qB2

=

π

12

s
設小車運動的距離為x₂
x2=vt=2×

π

12

=

π

6

s
若小球再經過MN時，有：
△x=n（x₁-x₂）
解得：△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…
答：（1）小球剛進入磁場B₁時的加速度大小為12m/s²
    （2）絕緣管的長度為

1

6

m
    （3）小球離開管后每次經過水平面MN時小球距管口的距離為△x=

n

3

(2-

π

2

)m    n=1、2、3、…