Question

平面直角坐標系xOy中，第Ⅰ象限存在沿y軸負方向的勻強電場，第Ⅳ象限存在垂直于坐標平面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為B．一質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子從y軸正半軸上的M點以速度v₀垂直于y軸射入電場，經x軸上的N點與x軸正方向成60°角射入磁場，最后從y軸負半軸上的P點與y軸正方向成60°角射出磁場，如圖所示．不計粒子重力，求
（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑R；
（2）勻強電場的場強大小E．

Answer 1

分析：粒子在坐標軸第一象限做類平拋運動，已知類平拋的初速度v₀，和離開電場時的速度方向與x軸方向成60°角，根據類平拋運動規律，根據初速度可以求出粒子進入磁場的初速度v，粒子在磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，已知速度v和磁感應強度B，可得粒子做圓周運動的軌道半徑R；根據粒子在磁場中的運動軌跡可以求得粒子做類平拋運動在x軸方向的位移，由于在x軸方向做勻速直線運動，故類平拋時間t可求，在y軸方向上可以求得粒子的速度v，據v=at可以得出粒子的加速度a，由于是電場力產生加速度，故可以求出電場強度E．

解答：解：（1）因為粒子在電場中做類平拋運動，設粒子過N點時的速度為v，

根據平拋運動的速度關系粒子在N點進入磁場時的速度v=

vx

cos60°

=

Vo

cos60°

=2v₀
如圖：

分別過N、P點作速度方向的垂線，相交于Q點，則Q是粒子在磁場中做勻速圓周運動的圓心，
根據牛頓第二定律 qvB=

mv2

R

∴R=

mv

qB

代入v=2v₀得粒子的軌道半徑  
R=

2mV0

qB

（2）粒子在電場中做類平拋運動，設加速度為a，運動時間為t
由牛頓第二定律：qE=ma          ①
設沿電場方向的分速度為v_y=at         ②
粒子在電場中x軸方向做勻速運動，由圖根據粒子在磁場中的運動軌跡可以得出：
粒子在x軸方向的位移：Rsin30°+Rcos30°=v₀t       ③
又  v_y=v₀tan60°      ④
由①②③④可以解得  E=

(3- 3 )V0B

2

．
答：（1）粒子在磁場中運動的軌道半徑R=

2mV0

qB

；
（2）勻強電場的場強大小E=

(3- 3 )V0B

2

．

點評：掌握平拋運動的處理方法并能運用到類平拋運動中，粒子在磁場中做勻速圓周運動，能正確的畫出運動軌跡，并根據幾何關系確定各量之間的關系．