Question

如圖所示，在坐標系xOy所在平面內有一半徑為a的圓形區域，圓心坐標O₁（a，0），圓內分布有垂直xOy平面的勻強磁場．在坐標原點O處有一個放射源，放射源開口的張角為90°，x軸為它的角平分線．帶電粒子可以從放射源開口處在紙面內朝各個方向射出，其速率v、質量m、電荷量+q均相同．其中沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點的正上方的P點射出．不計帶電粒子的重力，且不計帶電粒子間的相互作用．
（1）求圓形區域內磁感應強度的大小和方向；
（2）a．判斷沿什么方向射入磁場的帶電粒子運動的時間最長，并求最長時間；
b．若在y≥a的區域內加一沿y軸負方向的勻強電場，放射源射出的所有帶電粒子運動過程中將在某一點會聚，若在該點放一回收器可將放射源射出的帶電粒子全部收回，分析并說明回收器所放的位置．

Answer 1

分析：（1）沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點的正上方的P點射出，可判斷出偏轉方向，利用左手定則可判磁場方向；找出圓心畫出軌跡，利用幾何關系可求出半徑，再利用洛倫茲力提供向心力即可求出B；
（2）a、畫出最上最下兩個臨界情況的軌跡，即可分析出沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場中運動的時間最長，利用幾何關系即可求出速度偏轉角，從而即可求出時間；
b、畫出任意方向射入磁場的軌跡，利用幾何關系可發現，粒子均沿y軸正向射出，又在電場中先減速后反向勻加速回到射出點，再次進入磁場，再次畫出軌跡，找出規律即可求解．

解答：解：（1）沿x軸正方向射出的粒子恰好從O₁點的正上方的P點射出，運動軌跡如圖所示


由幾何關系可得R=a      ①
設圓形磁場區域內的磁感應強度為B，帶電粒子在磁場中所受的洛倫茲力提供向心力：qvB=m

v2

R

    ②
①②聯立得；B=

mv

qa

由左手定則判斷磁場方向垂直于xOy平面向里
（2）經分析，沿與x軸45°向下射出的帶電粒子在磁場中運動的時間最長，軌跡如圖，

根據幾何關系粒子離開磁場時速度方向沿y軸正方向，∠OO₃Q=135°．
設該帶電粒子在磁場中運動的時間為t，根據圓周運動周期公式得：T=

2πR

v

      ③
所以tmax=

135

360

T      ④
①③④聯立得：tmax=

3πa

4v

（3）設某帶電粒子從放射源射出，速度方向與x軸的夾角為α，做速度v的垂線，截取OO₄=a，以O₄為圓心a為半徑做圓交磁場邊界于M點．如圖所示：

由于圓形磁場的半徑與帶電粒子在磁場中運動的半徑均為a，故OO₁MO₄構成一個菱形，所以O₄M與x軸平行，因此從放射源中射出的所有帶電粒子均沿y軸正方向射出．帶電粒子在勻強電場中做勻減速直線運動，返回磁場時的速度與離開磁場時的速度大小相等方向相反，再進入磁場做圓周運動，圓心為O₅，OO₄O₅N構成一平行四邊形，所以粒子在磁場中兩次轉過的圓心角之和為180°，第二次離開磁場時都經過N點．故收集器應放在N點，N點坐標為（2a，0）．  
答：（1）圓形區域內磁感應強度的大小為B=

mv

qa

，方向垂直于xOy平面向里
（2）a、最長時間tmax=

3πa

4v

b、（2a，0）．

點評：解決帶電粒子在磁場中的問題，關鍵是根據題意找出圓心，畫出軌跡，一切問題可輕松解決．