Question

【題目】打樁機的鐵塔高度為，錘的質量；鋼筋混凝土樁的質量，樁的橫截面為正方形，其邊長．樁在被打入地下的過程中，其阻力可以認為主要來自樁側面泥土對其的黏滯作用，且阻力系數為，當樁已被打入地下時，再把錘升高，然后自由落下打擊樁．假設碰撞過程是完全非彈性碰撞，試回答下列問題：

（1）這一錘能把樁再打多深？

（2）打樁的效率（用于推進樁的能量與錘打擊樁的能量之比）為多少？

（3）如果碰撞過程是彈性碰撞，其恢復因數，重新分析問題（1）和（2）．

Answer 1

【答案】（1） （2）％ （3） ％

【解析】

（1）當錘下落高度時，根據機械能守恒定律，其速度為

①

由于是非彈性碰撞，對于樁和錘組成的系統，根據動量守恒定律，有

②

聯立式①與式②，可得碰撞后樁和錘的共同速度為

③

設這一錘能把樁打入的深度為，取豎直向下為軸正向，樁下降時受到的阻力為

④

對于樁、錘系統損失的能量用于克服阻力做功，有

⑤

將式④代入式⑤化簡得

⑥

代入數值得

解得

（2）碰撞前，錘的動能為 ⑦

碰撞后，樁、錘系統用于克服阻力做功的動能為

． ⑧

故打樁效率為％．

（3）設錘與樁碰撞結束時，錘、樁的速度分別為和，根據動量守恒定律有

⑨

根據恢復因數的定義，有

． ⑩

聯立式⑨與式⑩解得，，

即得，．

顯然，碰撞后錘被反彈．與式⑤類似，有

．

聯立式④、式和式并代入數值得，解得

可知，這一錘打進的深度為

此時，打樁的效率為％

可見，有了彈性后，打樁的效率提高了，這是由于因變形和裂損的能量損失更小，使效率提高．