Question

（2005?和平區一模）如圖所示，OA與OCA為置于水平面內的光滑金屬導軌，OCA導軌滿足曲線方程y=1.0sin（

π

3

x）m，c為曲線的最高點，OA導軌與OCA導軌分別在O點和A點接有阻值R₁=3.0Ω和R₂=6.0Ω體積可忽略的定值電阻．在xOy平面內存在B=0.2T的勻強磁場，方向如圖．現有一長1.5m的金屬棒在水平外力F作用下以速度v=5.0m/s水平向右勻速運動，設棒與兩導軌始終接觸良好，其余電阻不計，求：
（1）金屬棒在導軌上運動時R₁的最大功率；
（2）外力F的最大值；
（3）金屬棒滑過導軌OA的過程，外力所做的功．

Answer 1

分析：（1）金屬棒在導軌上從O點滑動到A點，切割磁感線產生電動勢，有效切割長度y按正弦規律變化，當y最大時，感應電流最大，安培力最大，外力F最大．電阻絲R₁上消耗的功率最大．本題根據法拉弟定律、歐姆定律等規律求解R₁的最大功率；
（2）棒做勻速運動，外力始終與安培力平衡，當感應電流最大時，安培力最大，則外力也最大，由F=BIL公式求出外力的最大值；
（3）金屬棒滑過導軌OA的過程，外力所做的功等于電路中產生的焦耳熱，根據焦耳定律求解．

解答：解：（1）金屬棒滑至C處，有效切割長度最大，金屬棒上感應電動勢最大，R₁和R₂上消耗的電功率最大
∴y=1.0sin（

π

3

x）m，令y=0，有OA長度為x_A=3m
金屬棒滑至C點時
  x_C=

xA

2

=1.5m
故y_C=1.0sin

π

3

×1.5=1.0m
電路總電阻R_總=

R1R2

R1+R2

=2Ω
感應電動勢E_C=By_Cv
感應電流最大值為 I_m=

EC

R總

=

ByCv

R總

=0.5A
通過電阻R₁的電流為I1=

R2

R1+R2

Im=

1

3

A
R₁的最大功率為P_1m=

I

2 1

R1=

1

3

W
（2）金屬棒勻速通過金屬導軌C處時，外力有最大值為
   Fm=BI_my_C=0.2×0.5×1N=0.1N
（3）∵E=Byv=Bv?1.0sin（

π

3

x），
而x=vt
∴E=1.0sin

5π

3

t（V），
所以感應電動勢有效值為E_有=

Em

2

=

2

2

V
  t=

xA

v

=0.6s
由能量守恒得  W_外=Q=

E 2 有

R總

t=0.15J
答：
（1）金屬棒在導軌上運動時R₁的最大功率是

1

3

W；
（2）外力F的最大值是0.1N；
（3）金屬棒滑過導軌OA的過程，外力所做的功是0.15J．

點評：本題是產生正弦式電流的一種方式，運用電磁感應的基本規律得到感應電動勢和感應電流的表達式，要注意的是求焦耳熱時要用電流的有效值．