Question

（2010?成都三模）近年，植被的嚴重破壞導致我國北方“沙塵暴”頻發，現將沙塵上揚后的情況簡化如下；風速豎直向上，設為v，沙塵顆粒上揚后懸浮在空中（視為靜止），此時風對沙塵的作用力等效于沙塵以速度v在靜止的空氣中運動時所受到的阻力f，且f=aρAv²，式中α為一系數，A為沙塵顆粒的截面積，ρ為空氣密度．已知α=0.5，地面空氣密度ρ₀=1.2kg/m³，沙塵顆粒為球形，密度ρ秒=3×103kg/m³，半徑R=0.24mm，（球的體積公式為V=

4

3

πR3），重力加速度g取10m/s²，且不考慮重力加速度隨高度的變化．
（1）求發生沙塵暴時地面附近的最小風速（方向向上）；
（2）若空氣密度ρ隨高度h變化的關系為ρ=ρ0(1-kh)，常量k=1.2×10-3m^-1，ρ₀為地面空氣密度，當豎直向上的風速為5m/s時，求沙塵揚起后懸浮的最大高度．

Answer 1

分析：（1）在地面附近，沙塵揚起要能懸浮在空中，則空氣阻力至少應與重力平衡．應用平衡條件列式求解．
（2）設出最大高度h，表示出此處空氣密度，再由平衡條件列式計算即可．

解答：解：（1）沙塵懸浮時受力平衡，根據平衡條件，有：mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由題意知：f=αρ0Av2，A=πR²
聯立以上四式得：v=

4Rρ沙g 3αρ0

=

4×0.24×10-3×3000×10 3×0.5×1.2

=4m/s
（2）設最大高度為h，沙塵懸浮時受力平衡，有：
mg=f
其中：m=ρ沙V=ρ沙×

4

3

πR3
由題意知：f=αρAv²，A=πR²ρ=ρ₀（1-kh）
聯立各式并代入數據，解得：v=5m/s時，h=300m
答：（1）發生沙塵暴時地面附近的最小風速為4m/s；
（2）沙塵揚起后懸浮的最大高度為300m．

點評：本題為一個理論聯系實際的題目，本質上是平衡條件的應用問題，但難點是怎樣把題目中的情景與學習的理論知識聯系起來，同時運算要有耐心．