Question

（2007?淮安模擬）偵察衛星在通過地球兩極上空的圓形軌道上運動，它的運動軌道距離地面的高度為h，要使衛星在一天時間內將地面上赤道各處在日照條件下的情況全部都拍攝下來，衛星在通過赤道上空時，衛星的攝像機至少能拍攝地面上赤道圓周的弧長是多少？設地球的半徑為R，地面處的重力加速度為g，地球自轉周期為T．

Answer 1

分析：攝像機只要將地球的赤道拍攝全，便能將地面各處全部拍攝下來；
根據萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力求出衛星周期．
由地球自轉角速度求出衛星繞行地球一周的時間內，地球轉過的圓心角，再根據弧長與圓心角的關系求解．

解答：解：設衛星周期為T₁，根據萬有引力提供向心力得：

GMm

(R+h)2

=

m?4π2

T 2 1

（R+h）               ①
又

GMm

R2

=mg         ②
有T₁=

2π

R

(h+R)3 g

              ③
地球自轉角速度為ω=

2π

T

                     ④
在衛星繞行地球一周的時間T₁內，地球轉過的圓心角為
θ=ωT₁=

2π

T

T₁              ⑤
那么攝像機轉到赤道正上方時攝下圓周的弧長為s=θR             ⑥
由①②③④⑤⑥得s=

4π2

T

(h+R)3 g

答：衛星的攝像機至少能拍攝地面上赤道圓周的弧長是

4π2

T

(h+R)3 g

．

點評：本題考查應用物理知識分析研究科技成果的能力，基本原理：建立模型，運用萬有引力等于向心力研究．