Question

（2011?保定模擬）如圖所示，在豎直平面內建立的直角坐標系中，有一光滑彎曲軌道CDE，DE段為半圓形，C點在y軸上，D點與x軸相切，圓心坐標是（1.8m，0.5m）．一小球A從軌道上某點由靜止釋放，沿軌道CD滑下，與靜止在D點的小球B相碰，碰撞時不計機械能損失，時間極短．碰后小球B沿軌道從E點射出，落在曲面CD上，落點P的坐標是（0.2m，0.2m），小球A碰后在軌道上運動能到達的最高點恰好也在P點．兩球均可視為質點，小球B的質量m_B=0.1kg，g取10m/s²．求：
（1）小球B經過E點時對軌道的壓力．
（2）小球A的質量m_A可能是多少？

Answer 1

分析：（1）根據平拋運動的位移時間關系公式得到小球經過E點的速度，然后根據牛頓第二定律和向心力公式計算球對軌道的壓力；
（2）根據機械能守恒定律先求出小球B在D點碰撞前的速度，然后再根據機械能守恒定律計算出A球在D點碰撞前的速度大小，最后根據動量守恒定律列式求解小球A的質量．

解答：解：（1）B球離開E點做平拋運動
S=v₁t   S=1.8-0.2=1.6m
h=

1

2

gt2  h=1-0.2=0.8m
解得
v₁=4m/s
在E點，重力和支持力的合力提供向心力，有
m_Bg+N=m_B

v 2 1

R

解得
N=2.2N
故根據牛頓第三定律，小球B經過E點時對軌道的壓力也為2.2N．
（2）小球B從D到E過程機械能守恒，有
m_Bgh+

1

2

mB

v

2 1

=0+

1

2

mB

v

2 D

解得
v_D=6m/s
設小球碰撞后速度為v_A，小球從D到P過程，機械能守恒，有
m_Agh′=

1

2

mA

v

2 A

解得
v_A=2m/s
假設小球A碰撞前速度為v_A1，根據機械能守恒定律，有

1

2

mA

v

2 A1

=

1

2

mA

v

2 A

+

1

2

mB

v

2 D

  ①
根據動量守恒定律，有
m_Av_A1=m_Av_A±m_Bv_D     ②
（其中，v_D向右時取正，向左取負）
由①②解得
m_A=0.3kg，或m_B=0.06kg
即小球A的質量m_A可能是0.3kg，也可能是0.06kg．

點評：本題關鍵要明確各個小球的運動規律，對沿圓弧運動運用機械能守恒定律列式，對碰撞過程運用機械能守恒定律和動量守恒定律聯立列式求解．