Question

【題目】如圖甲所示，傾角為30°的光滑斜面固定在水平桌面邊緣．輕繩跨過位于斜面頂端的輕滑輪連接A、B兩個小滑塊，斜面上方輕繩與斜面保持平行，豎直懸掛的滑塊離地面足夠高，滑輪與轉軸之間的摩擦不計．第一次A懸空，B放在斜面上，B自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端時，A和B組成系統的總動能為Ek；第二次，將A和B位置互換，使B懸空，A放在斜面上，發現A自斜面底端由靜止開始運動至斜面頂端時，A和B組成系統的總動能為4Ek（重力加速度g已知）．

（1）求兩小滑塊的質量之比；

（2）若將光滑斜面換成一個半徑為R的半圓形光滑軌道，固定在水平桌面上，將這兩個小物塊用輕繩連接后，如圖放置．將B從軌道邊緣由靜止釋放，不計一切摩擦，求：B沿半圓形光滑軌道滑到底端時，B的速度大小．（結果可用根號表示）

Answer 1

【答案】（1）2:3 （2）

【解析】

（1）設斜面的長度為l，A與B的質量分別為m1和m2，兩次運動的過程中二者組成的系統的機械能守恒，則：
m1gl-m2glsin30°=Ek…①
m2gl-m1glsin30°=4Ek…②
聯立可得：m1：m2=2：3…③
（2）在乙圖中，設B到達最低點的速度為v2，A的速度為v1，則B的速度可以分解為沿繩子方向的分速度與垂直于繩子方向的分速度，如圖：

由幾何關系可得：v1＝v2cos45°＝v2…④
下降的過程中B下降的距離為R，而A上升的距離為R，由機械能守恒得：
m2gRm1gR＝m1v12+m2v22…⑤
聯立③④⑤解得： ，