Question

（18分）如圖所示，傾斜軌道AB的傾角為37^o，CD、EF軌道水平，AB與CD通過光滑圓弧管道BC連接，CD右端與豎直光滑圓周軌道相連。小球可以從D進入該軌道，沿軌道內側運動，從E滑出該軌道進入EF水平軌道。小球由靜止從A點釋放，已知AB長為5R，CD長為R，重力加速度為g，小球與斜軌AB及水平軌道CD、EF的動摩擦因數均為0.5，sin37^o=0.6，cos37^o=0.8，圓弧管道BC入口B與出口C的高度差為1.8R。求：

⑴小球滑到斜面底端C時速度的大小。
(2)小球對剛到C時對軌道的作用力。
(3)要使小球在運動過程中不脫離軌道，豎直圓周軌道的半徑R’應該滿足什么條件？若R’=2.5R，小球最后所停位置距D（或E）多遠？
注：在運算中，根號中的數值無需算出。

Answer 1

（1） （2）6.6mg ，方向豎直向下 （3）要使小球在運動過程中不脫離軌道，情況一：小球b能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道．R′≤0.92R，小球b上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D；情況二：R′≥2.3R，b球將停在D點左側，距D點0.6R處，a球停在D點左側，距D點R處．

解析試題分析：（1）設小球到達C點時速度為v，a球從A運動至C過程，由動能定理有
      （2分）
可得                       （1分）
（2）小球沿BC軌道做圓周運動，設在C點時軌道對球的作用力為N，由牛頓第二定律
 ， （2分） 其中r滿足   r+r·sin53⁰=1.8R   （1分）
聯立上式可得：N=6.6mg         （1分）
由牛頓第三定律可得，球對軌道的作用力為6.6mg ，方向豎直向下。 （1分）
（3）要使小球不脫離軌道，有兩種情況：
情況一：小球能滑過圓周軌道最高點，進入EF軌道。則小球b在最高點P應滿足  （1分）
小球從C直到P點過程，由動能定理，有      （1分）
可得                   （1分）
情況二：小球上滑至四分之一圓軌道的Q點時，速度減為零，然后滑回D。則由動能定理有
                 （1分）
              （1分）
若，由上面分析可知，小球必定滑回D，設其能向左滑過DC軌道，并沿CB運動到達B點，在B點的速度為v_B,，則由能量守恒定律有          （1分）
由⑤⑨式，可得                   （1分）
故知，小球不能滑回傾斜軌道AB，小球將在兩圓軌道之間做往返運動，小球將停在CD軌道上的某處。設小球在CD軌道上運動的總路程為S，則由能量守恒定律，有         （1分）
由⑤⑩兩式，可得   S=5.6R             （1分）
所以知，b球將停在D點左側，距D點0.6R處。      （1分）
考點：本題考查圓周運動、動能定理的應用，意在考查學生的綜合能力。