Question

如圖所示，兩個不計厚度的彈性擋板分別固定在水平桌面上A、D的位置，兩個大小相同可看作質點的小球質量分別為m₁、m₂，且m₂=5m₁，開始時兩球位于B、C的位置，且AB=BC=CD=L，m₂靜止，m₁以水平初速度v₀向m₂運動，設兩球之間、球與擋板之間的碰撞均沒有機械能損失，碰撞時間、所有摩擦均不計．求
（1）m₁和m₂之間發生第一次碰撞后各自的速度大小
（2）經過多長時間兩球均回到起始狀態．

Answer 1

分析：（1）由題意知，兩球之間的碰撞沒有機械能損失，遵守動量守恒和機械能守恒，由兩大守恒定律列式求解m₁和m₂之間發生第一次碰撞后各自的速度大�。�
（2）碰后m₂運動到D位置時，與擋板相碰，以原速率彈回，由運動學公式可求出m₂從C點碰后第一次返回C位置所用的時間．同理可求出m₁從C點碰后第一次返回C位置所用的時間，結果兩球在C位置第二次相碰．m₁，m₂第二次碰撞過程是它們在C位置第一次相碰的逆過程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左運動．再根據運動學公式求出m₁從第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B點所用時間，以及m₁第一次碰前從B到C所用時間，即可得解．

解答：解：（1）令v₁、v₂分別表示m₁與m₂第一次碰后兩球的速度，規定碰前m₁的速度v₀的方向為正方向．
對m₁、m₂所構成的系統，由動量守恒定律和機械能守恒定律，得：
  m₁v₀=m₁v₁+m₂v₂
 

1

2

m1

v

2 0

=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

結合題目情景解得：v₁=-

2

3

v₀ v₂=

1

3

v0
（2）碰后m₂運動到D位置時，與擋板相碰，以原速率彈回，
m₂從C點碰后第一次返回C位置所用時間：t₂=

2L

1 3 v0

=

6L

v0

同理，m₁從C點碰后第一次返回C位置所用時間：t₂′=

4L

2 3 v0

=

6L

v0

故m₂與m₁將在C位置第二次相碰．                                  
m₁，m₂第二次碰撞過程是它們在C位置第一次相碰的逆過程，即碰后m₂停在C位置，m₁又以v₀的速度水平向左運動．
或：令v₁′、v₂′分別表示m₁與m₂第二次碰后兩球的速度，對m₁，m₂所構成的系統，仍以v₀的方向為正方向，由動量守恒定律和機械能守恒定律，得：
m₁（-v₁）+m₂（-v₂）=m₁ v₁′+m₂ v₂′

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

=

1

2

m1

v′

2 1

+

1

2

m2

v′

2 2

結合題目情景解得：v₁′=-v₀ v₂′=0 
m₁從第二次碰后到下一次以水平向右的速度返回B點所用時間為：t₃=

3L

v0

m₁第一次碰前從B到C所用時間為：t₁=

L

v0

設經過時間T兩球均回到起始狀態，則有：T=t₁+t₂+t₃=

10L

v0

答：（1）m₁和m₂之間發生第一次碰撞后各自的速度大小分別為

2

3

v₀和

1

3

v0．
（2）經過

10L

v0

時間兩球均回到起始狀態．

點評：本題是彈性碰撞與勻速運動結合的問題，根據動量守恒、機械能守恒和勻速運動速度公式結合進行求解．