Question

如圖所示，P點與R點關于坐標原點對稱，距離為2a．有一簇質量為m、電量為q的離子，在xoy平面內，從P點以同一速率υ，沿與x軸成θ（0⁰＜θ＜90⁰）的方向射向同一個垂直于xoy平面的有界勻強磁場，磁感應強度為B，這些離子的運動軌跡對稱于y軸，聚焦到R點．
（1）求離子在磁場中運動的軌道半徑r
（2）若離子在磁場中運動的軌道半徑為a時，求與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間t
（3）試推出在x＞0的區域中磁場的邊界點坐標x與y之間滿足的關系式．

Answer 1

分析：（1）離子進入磁場后，受到洛倫茲力作用做勻速圓周運動，根據向心力公式即可求解；
（2）先根據幾何關系求出進入和離開磁場時的坐標，求出粒子運動的路程，根據時間等于路程除以速率求解；
（3）根據幾何關系表示出x、y與半徑r的關系，帶入數據即可得出x與y之間滿足的關系式．

解答：解：（1）離子進入磁場后，受到洛倫茲力作用，由牛頓第二定律得：
Bqυ=m

υ2

r

解得：r=

mυ

Bq

（2）如圖所示，由對稱性及幾何關系可得，離子進入磁場A點坐標為：（-

a

2

，

3

6

a）離開磁場B點坐標為：（

a

2

，

3

6

a）
由幾何關系，離子運動的路程為：s=

2 3

3

a+

π

3

r=

2 3

3

a+

π

3

a
則：t=

s

υ

=

(2 3 +π)a

3υ

（3）如圖所示，設離子運動的軌道半徑為r，在x＞0的區域內，令離子離開磁場后與x軸夾角為θ．
由幾何關系得：x=rsinθ
y=(

a

cosθ

-rtanθ)sinθ
代入相關數據并化簡得：y=

(ax-x2)Bq

m2υ2-B2q2x2

答：（1）求離子在磁場中運動的軌道半徑r為

mυ

Bq

；
（2）與x軸成30°角射出的離子從P點到達R點的時間t為

(2 3 +π)a

3υ

；
（3）在x＞0的區域中磁場的邊界點坐標x與y之間滿足

(ax-x2)Bq

m2υ2-B2q2x2

．

點評：本題是帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動，要求同學們能畫出粒子運動的軌跡，結合幾何關系求解，知道半徑公式及周期公式，難度較大．