Question

已知月球質量是地球質量的

1

81

，月球半徑是地球半徑的

1

3.8

．求：
（1）在月球和地球表面附近，以同樣的初速度分別豎直上拋一個物體時，上升的最大高度之比是多少？
（2）在距月球和地球表面相同高度處（此高度較�。�，以同樣的初速度分別水平拋出一個物體時，物體的水平射程之比為多少？

Answer 1

分析：（1）由豎直上拋是加速度大小等于重力加速度的勻減速直線運動，可得上升最大高度表達式，可知上升最大高度與重力加速度有關，進而由萬有引力等于重力可得月球和地球重力加速度的比值，可確定上升的最大高度之比．
（2）由平拋水平做勻速直線運動，豎直做自由落體運動，可求水平射程的表達式，可知水平射程也與重力加速度有關，由（1）的計算可得物體的水平射程之比．

解答：解：（1）設月球質量為M，半徑為R，月面重力加速度為g，地球質量為M′，半徑為R′，地面重力加速度為g′，在月球和地球表面附近豎直上拋的物體都做勻減速直線運動，其上升的最大高度分別為：
h=

v2

2g

，
h′=

v2

2g′

，
月球表面萬有引力等于重力可得G

Mm

R2

=mg，
解得：g=

GM

R2

，
同理可得：g′=

GM′

R′2

，
在月球和地球表面附近，以同樣的初速度分別豎直上拋一個物體時，上升的最大高度之比：

h

h′

=

g′

g

=

M′R2

MR′2

=81×(

1

3.8

)=5.6．
（2）設拋出點的高度為H，初速度為v₀，在月球和地球表面附近做平拋運動的物體在豎直方向做自由落體運動，可知：
H=

1

2

gt2，
解得：
t=

2H g

，
在水平方向做勻速直線運動，其在月球和地球表面水平射程之比為：

s

s′

=

v0t

v0t′

=

g′ g

=

R

R′

×

M′ M

=

9

3.8

=2.37．
答：（1）在月球和地球表面附近，以同樣的初速度分別豎直上拋一個物體時，上升的最大高度之比5.6．
（2）在距月球和地球表面相同高度處（此高度較�。�，以同樣的初速度分別水平拋出一個物體時，物體的水平射程之比為2.37．

點評：首先，要熟練豎直上拋，自由落體這兩種規律，知道平拋的特征是水平方向做勻速直線運動，豎直方向做自由落體運動；其次，在比較兩個量的時候，先列出對應量的表達式，再從題目找給定的表達式中各個量的關系．