Question

（2013?雅安三模）如圖，頂角為90°的“∨”型光滑金屬導軌MON固定在傾角為θ的絕緣斜面上，M、N連線平行于斜面底端，導軌MO、NO的長度相等，M、N兩點間的距離L=2m，整個裝置處于磁感應強度大小B=0.5T、方向垂直于斜面向下的勻強磁場中．一根質量m=0.4kg，粗細均勻、單位長度電阻值r=0.5Ω/m的導體棒ab，受到平行于斜面向上且垂直于ab的變力F作用，以速度v=2m/s沿導軌向下勻速滑動，導體棒在運動過程中始終與導軌接觸良好，不計導軌電阻，從導體棒在MN時開始計時，
（1）t=0時，F=0，求斜面傾角θ；
（2）求0.2s內通過導體棒的電荷量q；
（3）求導體棒通過整個金屬導軌的過程中產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）導體棒切割磁感線產生感應電動勢，由法拉第電磁感應定律與閉合電路歐姆定律可求出安培力大小，再根據受力平衡條件來確定斜面傾角；
（2）根據上述發現，感應電流大小與導體長度無關，則電流恒定，因而由電量表達式結合時間即可求解；
（3）當導體棒勻速運動，由有效長度可列出安培力大小關于向下運動位移的表達式，根據安培力與位移成線性關系，可利用安培力平均值來求出產生焦耳熱．

解答：解：（1）導體棒開始運動時，回路中產生的感應電動勢E=BLv  
感應電流 I=

E

L?r

=

Bv

r

安培力F_安=BIL                                 
由平衡條件得：mgsinθ=F_安+F 
因，F=0
聯立上式得：θ=30⁰                              
（2）感應電流 I=

E

L?r

=

Bv

r

與導體棒切割的有效長度l無關
感應電流大小I=

Bv

r

=2A                          
故0.2s內通過導體棒的電荷量q=It=0.4C        
（3）設導體棒經t時間沿導軌勻速向下運動的位移為x，
則t時刻導體棒切割的有效長度L_x=L-2x            
導體棒在導軌上運動時所受的安培力F安=BILx=

B2v

r

(L-2x)=2-2x
因安培力的大小F_安與位移x成線性關系，故通過導軌過程中導體棒所受安培力的平均值

.

F

安=

2+0

2

N=1N
產生的焦耳熱Q=

.

F

安?

L

2

=1J
答：（1）t=0時，F=0，求斜面傾角30°；
（2）求0.2s內通過導體棒的電荷量0.4C；
（3）求導體棒通過整個金屬導軌的過程中產生的焦耳熱1J．

點評：考查法拉第電磁感應定律，閉合電路歐姆定律，共點力平衡條件及安培力表達式．本題突破口：產生感應電流與導體棒有效長度無關，同時巧用安培力與位移成線性關系，由安培力平均值來求焦耳熱．
第三小問另一種解法：設導體棒經t時間沿導軌勻速向下運動的位移為x，則t時刻導體棒切割的有效長度L_x=L-2x        
導體棒在導軌上運動時所受的安培力F安=BILx=

B2v

r

(L-2x)=2-2x
作出安培力大小隨位移x變化的圖象
圖象與坐標軸圍成面積表示導體棒克服安培力作功，也為產生的焦耳熱v=

lλ

△x△t

所以，產生的焦耳熱Q=1 J