Question

（21分）
圖中左邊有一對平行金屬板，兩板相距為d，電壓為V；兩板之間有勻強磁場，磁感應強度大小為，方向平行于板面并垂直于紙面朝里。圖中右邊有一邊長為a的正三角形區域EFG（EF邊與金屬板垂直），在此區域內及其邊界上也有勻強磁場，磁感應強度大小為B，方向垂直于紙面朝里。假設一系列電荷量為q的正離子沿平行于金屬板面、垂直于磁場的方向射入金屬板之間，沿同一方向射出金屬板之間的區域，并經EF邊中點H射入磁場區域。不計重力。

（1）已知這些離子中的離子甲到達磁場邊界EG后，從邊界EF穿出磁場，求離子甲的質量。
（2）已知這些離子中的離子乙從EG邊上的I點（圖中未畫出）穿出磁場，且GI長為。求離子乙的質量。
（3）若這些離子中的最輕離子的質量等于離子甲質量的一半，而離子乙的質量是最大的，問磁場邊界上什么區域內可能有離子到達。

Answer 1

（1） 
（2）
           
（3）所以，磁場邊界上可能有離子到達的區域是：邊上從到點。邊上從到。

（21分）



（1）由題意知，所有離子在平行金屬板之間做勻速直線運動，它所受到的向上的磁場力和向下的電場力平衡，有
         ①           
式中，是離子運動的速度，是平行金屬板之間的勻強電場的強度，有
                ②            
由①②式得

          ③             
在正三角形磁場區域，離子甲做勻速圓周運動。設離子甲質量為，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
                                    ④

式中，是離子甲做圓周運動的半徑。離子甲在磁場中的運動軌跡為半圓，圓心為：這半圓剛好與邊相切于，與邊交于點。在中，垂直于。由幾何關系得
                                ⑤

由⑤式得
                               ⑥

聯立③④⑥式得,離子甲的質量為
  ⑦ 
（2）同理，由洛侖茲力公式和牛頓第二定律有
                             ⑧


式中，和分別為離子乙的質量和做圓周運動的軌道半徑。離子乙運動的圓周的圓心必在兩點之間，又幾何關系有
  ⑨

由⑨式得
                           ⑩

聯立③⑧⑩式得，離子乙的質量為
           （11）

（1）  對于最輕的離子，其質量為，由④式知，它在磁場中做半徑為的勻速圓周運動。因而與的交點為，有
         （12）
(2)當這些離子中的離子質量逐漸增大到m時，離子到達磁場邊界上的點的位置從點沿邊變到點；當離子質量繼續增大時，離子到達磁場邊界上的點的位置從點沿邊趨向于點。點到點的距離為
            （13）
(3)所以，磁場邊界上可能有離子到達的區域是：邊上從到點。邊上從到。