Question

（2013?臺州模擬）如圖所示．坐標原點O處有一點狀的放射源，它向xoy平面內的第一象限各個方向發射同一種粒子，速度大小都是v₀，粒子的電量為q＞0、質量為m．在0≤x，0≤y≤d的區域內分布有指向y軸正方向的勻強電場，場強大小為E_電=

mv02

2qd

，其中q與m分別為粒子的電量和質量；在d＜y＜2d的區域內分布有垂直于xoy平面的勻強磁場．粒子在磁場中運動的最短時間為粒子在磁場中運動周期的

1

6

．不計粒子重力及粒子間的相互作用．求：
（1）粒子剛離開電場時的動能；
（2）磁感應強度B的大��；
（3）若磁感應強度不變，則當磁場的ab邊界平移多少距離，恰能保證所有粒子不從ab邊界飛出．求粒子第一次飛入磁場的右邊界點的坐標值和飛出磁場的左邊界點的坐標值．

Answer 1

分析：（1）粒子在電場中加速過程，根據動能定理求出粒子剛進入磁場時的動能．
（2）所有粒子進入磁場后半徑相同，周期相同．粒子在磁場中運動的時間最短，粒子在磁場中運動對應的弦最短為磁場寬度d，根據粒子在磁場中運動時間為

1

6

周期，即對應的圓心角為θ=60°，畫出軌跡，由幾何知識得到軌跡半徑．即可由牛頓第二定律求解B．
（3）能打在ab板上．根據帶電粒子在電場中類平拋運動，求出進入磁場中的偏轉角度，結合幾何關系得出軌道半徑，從而得出磁感應強度的大�。�
（3）證沿x軸正方向發出的粒子不從ab邊界飛出，即可保證所有粒子不從ab邊界飛出．沿x軸正方向發出的粒子在電場中做類平拋運動，進入磁場時速度方向與x軸正方向成θ=45°．根據幾何關系求解．

解答：解：（1）根據動能定理得：qEd=EK-

1

2

m

v

2 0

                       
得：EK=m

v

2 0

；
（2）所有粒子進入磁場的速率相同 EK=

1

2

m

v

2

=m

v

2 0

速率為 v=

2

v0            
所有粒子進入磁場后半徑相同，周期相同．                                                 
粒子在磁場中運動的時間最短，粒子在磁場中運動對應的弦最短為磁場寬度d，粒子在磁場中運動時間為

1

6

周期，即對應的圓心角為θ=60°，如圖①：求得粒子進入磁場后半徑r=d
 qvB=m

v2

r

 解得：B=

2 mv0

qd

；                                                      
（3）保證沿x軸正方向發出的粒子不從ab邊界飛出，即可保證所有粒子不從ab邊界飛出．
沿x軸正方向發出的粒子在電場中做類平拋運動，進入磁場時速度方向與x軸正方向成θ=45°
軌跡如圖③磁場上邊界為a'b'由幾何關系得：向上擴展平移的距離 △y=(d+dsin45°)-d=

2

2

d
沿x軸正方向發出的粒子第一次飛入磁場的點為右邊界x=v₀t，
  y=d=

vy

2

t，
  v_y=vsin45°=v₀
解得：x=2d；y=d
粒子第一次飛入磁場的右邊界點的坐標值為（2d，d）                          
從坐標原點向上發出的粒子飛出磁場的點為左邊界如圖④得粒子飛出磁場的左邊界點的坐標值：
（-2r，d）即（-2d，d）．                                                  
答：
（1）粒子剛離開電場時的動能為mv

2 0

；
（2）磁感應強度B的大小為

2 mv0

qd

；
（3）粒子第一次飛入磁場的右邊界點的坐標值和飛出磁場的左邊界點的坐標值為（-2r，d）．

點評：本題考查了帶電粒子在電場和磁場中的運動，關鍵確定粒子運動的臨界情況，通過幾何關系解決，對學生數學幾何能力要求較高．