Question

（2013?遼寧一模）在如圖所示的xoy坐標系中，y＞0的區域內存在著沿y軸正方向、場強為E的勻強電場，y＜0的區域內存在著垂直紙面向里、磁感應強度為B的勻強磁場．一帶電粒子從y軸上的P（0，h）點以沿x軸正方向的初速度射出，恰好能通過x軸上的D（d，0）點．已知帶電粒子的質量為m，帶電量為-q．h、d、q均大于0，不計重力的影響．
（1）若粒子只在電場作用下直接到達D點，求粒子初速度的大小v₀；
（2）若粒子在第二次經過x軸時到達D點，求粒子初速度的大小v₀；
（3）若粒子在從電場進入磁場時到達D點，求粒子初速度的大小v₀．

Answer 1

分析：（1）粒子只在電場作用下直接到達D點，粒子做類平拋運動，由牛頓第二定律和運動學公式結合求粒子初速度v₀；
（2）若粒子在第二次經過x軸時到達D點，先經過電場偏轉，后進入磁場中做勻速圓周運動，畫出軌跡，由幾何知識求出圓周運動的半徑，由牛頓第二定律求出粒子在磁場中運動的速度，結合類平拋運動，求初速度．
（3）若粒子在從電場進入磁場時到達D點，粒子在電場和磁場中做周期性運動，畫出軌跡，由幾何關系求得半徑通項，再求解磁場中速度通項，即可求出初速度．

解答：解：（1）粒子只在電場作用下直接到達D點
設粒子在電場中運動的時間為t，
粒子沿x方向做勻速直線運動，則 x=v₀t ①
沿y方向做初速度為0的勻加速直線運動，則 h=

1

2

at2 ②
加速度 a=

qE

m

③
粒子只在電場作用下直接到達D點的條件為 x=d ④
解①②③④得v₀=d

qE 2mh

（2）粒子在第二次經過x軸時到達D點，其軌跡如右圖所示．設粒子進入磁場的速度大小為v，v與x軸的夾角為θ，軌跡半徑為R，則
  vsinθ=at        ⑤
  qvB=m

v2

R

      ⑥
粒子第二次經過x軸時到達D點的條件為
x-2Rsinθ=d     ⑦
解①②③⑤⑥⑦得得v₀=d

qE 2mh

+

2E

B

   
（3）粒子在從電場進入磁場時到達D點，其軌跡如右圖所示．
根據運動對稱性可知QN=2OM=2 x                         
粒子在從電場進入磁場時到達D點的條件為
x+n（2x-2Rsinθ）=d     ⑧
其中n為非負整數．
解①②③⑤⑥⑧得v₀=

d

2n+1

qE 2mh

+

n

2n+1

?

2E

B

 
答：
（1）若粒子只在電場作用下直接到達D點，粒子初速度的大小v₀為d

qE 2mh

．
（2）若粒子在第二次經過x軸時到達D點，粒子初速度的大小v₀為d

qE 2mh

+

2E

B

．
（3）若粒子在從電場進入磁場時到達D點，粒子初速度的大小v₀為

d

2n+1

qE 2mh

+

n

2n+1

?

2E

B

．

點評：本題主要考查了帶電粒子在混合場中運動的問題，要求同學們能正確分析粒子的受力情況，再通過受力情況分析粒子的運動情況，熟練掌握平拋運動和圓周運動的基本公式，并結合幾何關系解題．