Question

【題目】從左至右在同一水平地面上依次有3個質點a、b、c，且三者共線，a與b相距l1，b與c相距l2．現同時將它們從其初始位置拋出．已知質點b以初速度v0豎直上拋，質點c以某一初速度豎直上拋．設在這3個質點的運動過程中，a能碰到質點b和c；并假設質點a的質量遠大于質點b的質量，且a與b碰撞時間極短．求質點c的初速度vc和質點a的初速度所滿足的條件。所求的結果均用題中的已知量表示出來。

Answer 1

【答案】vx≥g；vy=vc=v0

【解析】

以質點a的初始位置為原點,向右為x軸正向,向上為y軸正向.設a的初速度x和y分量分別為vx和vy.按拋體運動公式,在時刻t質點a、b、c的坐標分別為

(xa，ya)=(vxt,vyt-gt2)　�、�

(xb，yb)=(l1,v0t-gt2)　　②

(xc，yc)=(l1+l2,vct-gt2)　�、�

a與b相碰的條件是,存在時刻t1,使滿足

vxt1=l1　④

vyt1-gt12=v0t1-gt12⑤

v0t1-gt12≥0⑥

⑥式來自于水平地面對質點y坐標的限制。由④⑤⑥式得

vy=v0　⑦

vx≥g�、�

由于a與b碰撞時間極短,可忽略重力的影響。在a與b碰撞前后,系統的動量和能量守恒

mavx=mav'x+mbv'bx⑨

ma+mbvby(t1)=mav'y(t1)+mbv'by(t1)⑩

ma[vx2+vy2(t1)]+mbvby2(t1)=ma[v'x2+v'y2(t1)]+mb[v'bx2+v'by2(t1)](11)

式中,碰后的有關速度用打撇的字母表示.由題意,可認為mb=0.將mb=0代入⑨⑩(11)式得

vx=v'x，vy(t1)＝v'y(t1)　　 (12)

可見,質點b的運動對質點a的運動的影響可忽略。

同理,a與c相碰的條件是,存在時刻t2,使滿足

vxt2=l1+l2(13)

vyt2-gt22=vct2-gt22(14)

vct2-gt22≥0(15)

由(13)(14)(15)式得

vc=vy(16)

vx≥g(17)

由⑦⑧(12)(13)式得,質點c的初速度vc為

vc=v0(18)

質點a的初速度應滿足的條件為

vx≥g(19)

vy=vc=v0(20)